ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlem1arp Unicode version

Theorem resqrexlem1arp 11013
Description: Lemma for resqrex 11034.  1  +  A is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10460 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlem1arp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlem1arp.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlem1arp  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem resqrexlem1arp
StepHypRef Expression
1 1red 7971 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
2 resqrexlem1arp.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
41, 3readdcld 7986 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  A )  e.  RR )
5 0lt1 8083 . . . . . 6  |-  0  <  1
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  1 )
7 resqrexlem1arp.agt0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
87adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  A )
9 addgtge0 8406 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  ( 0  <  1  /\  0  <_  A ) )  -> 
0  <  ( 1  +  A ) )
101, 3, 6, 8, 9syl22anc 1239 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  +  A
) )
114, 10elrpd 9692 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  A )  e.  RR+ )
12 fvconst2g 5730 . . 3  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  RR+  /\  N  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( 1  +  A
) } ) `  N )  =  ( 1  +  A ) )
1311, 12sylancom 420 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  =  ( 1  +  A ) )
1413, 11eqeltrd 2254 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {csn 3592   class class class wbr 4003    X. cxp 4624   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    < clt 7991    <_ cle 7992   NNcn 8918   RR+crp 9652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-rp 9653
This theorem is referenced by:  resqrexlemf  11015  resqrexlemf1  11016  resqrexlemfp1  11017
  Copyright terms: Public domain W3C validator