Theorem resqrexlem1arp 11149

Description: Lemma for resqrex 11170. 1 + A is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10535 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlem1arp.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlem1arp.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlem1arp	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) e. RR+ )

Proof of Theorem resqrexlem1arp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8034	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
2		resqrexlem1arp.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
4	1, 3	readdcld 8049	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 + A ) e. RR )
5		0lt1 8146	. . . . . 6 |- 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 1 )
7		resqrexlem1arp.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 <_ A )
9		addgtge0 8469	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 0 <_ A ) ) -> 0 < ( 1 + A ) )
10	1, 3, 6, 8, 9	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < ( 1 + A ) )
11	4, 10	elrpd 9759	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 + A ) e. RR+ )
12		fvconst2g 5772	. . 3 |- ( ( ( 1 + A ) e. RR+ /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) = ( 1 + A ) )
13	11, 12	sylancom 420	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) = ( 1 + A ) )
14	13, 11	eqeltrd 2270	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {csn 3618   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   NNcn 8982   RR+crp 9719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-rp 9720

This theorem is referenced by:  resqrexlemf  11151  resqrexlemf1  11152  resqrexlemfp1  11153