ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlem1arp Unicode version

Theorem resqrexlem1arp 10669
Description: Lemma for resqrex 10690.  1  +  A is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10127 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlem1arp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlem1arp.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlem1arp  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem resqrexlem1arp
StepHypRef Expression
1 1red 7705 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
2 resqrexlem1arp.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
41, 3readdcld 7719 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  A )  e.  RR )
5 0lt1 7812 . . . . . 6  |-  0  <  1
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  1 )
7 resqrexlem1arp.agt0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
87adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  A )
9 addgtge0 8131 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  ( 0  <  1  /\  0  <_  A ) )  -> 
0  <  ( 1  +  A ) )
101, 3, 6, 8, 9syl22anc 1200 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  +  A
) )
114, 10elrpd 9380 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  A )  e.  RR+ )
12 fvconst2g 5588 . . 3  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  RR+  /\  N  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( 1  +  A
) } ) `  N )  =  ( 1  +  A ) )
1311, 12sylancom 414 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  =  ( 1  +  A ) )
1413, 11eqeltrd 2191 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   {csn 3493   class class class wbr 3895    X. cxp 4497   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   RRcr 7546   0cc0 7547   1c1 7548    + caddc 7550    < clt 7724    <_ cle 7725   NNcn 8630   RR+crp 9343
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-rp 9344
This theorem is referenced by:  resqrexlemf  10671  resqrexlemf1  10672  resqrexlemfp1  10673
  Copyright terms: Public domain W3C validator