ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlem1arp Unicode version

Theorem resqrexlem1arp 11017
Description: Lemma for resqrex 11038.  1  +  A is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10464 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlem1arp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlem1arp.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlem1arp  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem resqrexlem1arp
StepHypRef Expression
1 1red 7975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
2 resqrexlem1arp.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
41, 3readdcld 7990 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  A )  e.  RR )
5 0lt1 8087 . . . . . 6  |-  0  <  1
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  1 )
7 resqrexlem1arp.agt0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
87adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  A )
9 addgtge0 8410 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  ( 0  <  1  /\  0  <_  A ) )  -> 
0  <  ( 1  +  A ) )
101, 3, 6, 8, 9syl22anc 1239 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  +  A
) )
114, 10elrpd 9696 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  A )  e.  RR+ )
12 fvconst2g 5733 . . 3  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  RR+  /\  N  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( 1  +  A
) } ) `  N )  =  ( 1  +  A ) )
1311, 12sylancom 420 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  =  ( 1  +  A ) )
1413, 11eqeltrd 2254 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) `  N
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {csn 3594   class class class wbr 4005    X. cxp 4626   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   RRcr 7813   0cc0 7814   1c1 7815    + caddc 7817    < clt 7995    <_ cle 7996   NNcn 8922   RR+crp 9656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-rp 9657
This theorem is referenced by:  resqrexlemf  11019  resqrexlemf1  11020  resqrexlemfp1  11021
  Copyright terms: Public domain W3C validator