Theorem resqrexlem1arp 10426

Description: Lemma for resqrex 10447. 1 + A is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 9868 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlem1arp.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlem1arp.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlem1arp	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) e. RR+ )

Proof of Theorem resqrexlem1arp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 7493	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
2		resqrexlem1arp.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
4	1, 3	readdcld 7507	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 + A ) e. RR )
5		0lt1 7600	. . . . . 6 |- 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 1 )
7		resqrexlem1arp.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
8	7	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 <_ A )
9		addgtge0 7918	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 0 <_ A ) ) -> 0 < ( 1 + A ) )
10	1, 3, 6, 8, 9	syl22anc 1175	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < ( 1 + A ) )
11	4, 10	elrpd 9161	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 + A ) e. RR+ )
12		fvconst2g 5503	. . 3 |- ( ( ( 1 + A ) e. RR+ /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) = ( 1 + A ) )
13	11, 12	sylancom 411	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) = ( 1 + A ) )
14	13, 11	eqeltrd 2164	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   {csn 3444   class class class wbr 3843   X. cxp 4434   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   RRcr 7339   0cc0 7340   1c1 7341   + caddc 7343   < clt 7512   <_ cle 7513   NNcn 8412   RR+crp 9124

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-ltadd 7451

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-fv 5018  df-ov 5647  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-rp 9125

This theorem is referenced by:  resqrexlemf  10428  resqrexlemf1  10429  resqrexlemfp1  10430