Theorem resqrexlem1arp 11170

Description: Lemma for resqrex 11191. 1 + A is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10556 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlem1arp.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlem1arp.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlem1arp	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) e. RR+ )

Proof of Theorem resqrexlem1arp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8041	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
2		resqrexlem1arp.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
4	1, 3	readdcld 8056	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 + A ) e. RR )
5		0lt1 8153	. . . . . 6 |- 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 1 )
7		resqrexlem1arp.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 <_ A )
9		addgtge0 8477	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 0 <_ A ) ) -> 0 < ( 1 + A ) )
10	1, 3, 6, 8, 9	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < ( 1 + A ) )
11	4, 10	elrpd 9768	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 + A ) e. RR+ )
12		fvconst2g 5776	. . 3 |- ( ( ( 1 + A ) e. RR+ /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) = ( 1 + A ) )
13	11, 12	sylancom 420	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) = ( 1 + A ) )
14	13, 11	eqeltrd 2273	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   {csn 3622   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   NNcn 8990   RR+crp 9728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-rp 9729

This theorem is referenced by:  resqrexlemf  11172  resqrexlemf1  11173  resqrexlemfp1  11174