Theorem resqrexlem1arp 10969

Description: Lemma for resqrex 10990. 1 + A is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10417 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlem1arp.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlem1arp.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlem1arp	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) e. RR+ )

Proof of Theorem resqrexlem1arp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 7935	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
2		resqrexlem1arp.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
4	1, 3	readdcld 7949	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 + A ) e. RR )
5		0lt1 8046	. . . . . 6 |- 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 1 )
7		resqrexlem1arp.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
8	7	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 <_ A )
9		addgtge0 8369	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 0 <_ A ) ) -> 0 < ( 1 + A ) )
10	1, 3, 6, 8, 9	syl22anc 1234	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < ( 1 + A ) )
11	4, 10	elrpd 9650	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 + A ) e. RR+ )
12		fvconst2g 5710	. . 3 |- ( ( ( 1 + A ) e. RR+ /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) = ( 1 + A ) )
13	11, 12	sylancom 418	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) = ( 1 + A ) )
14	13, 11	eqeltrd 2247	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {csn 3583   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   NNcn 8878   RR+crp 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-rp 9611

This theorem is referenced by:  resqrexlemf  10971  resqrexlemf1  10972  resqrexlemfp1  10973