Theorem resqrexlem1arp 10947

Description: Lemma for resqrex 10968. 1 + 𝐴 is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10396 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlem1arp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlem1arp.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlem1arp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem resqrexlem1arp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 7914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2		resqrexlem1arp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 7928	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
5		0lt1 8025	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 1)
7		resqrexlem1arp.agt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
8	7	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
9		addgtge0 8348	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
10	1, 3, 6, 8, 9	syl22anc 1229	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (1 + 𝐴))
11	4, 10	elrpd 9629	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ+)
12		fvconst2g 5699	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
13	11, 12	sylancom 417	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
14	13, 11	eqeltrd 2243	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {csn 3576   class class class wbr 3982   × cxp 4602  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   ≤ cle 7934  ℕcn 8857  ℝ⁺crp 9589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-rp 9590

This theorem is referenced by:  resqrexlemf  10949  resqrexlemf1  10950  resqrexlemfp1  10951