Theorem resqrexlem1arp 11537

Description: Lemma for resqrex 11558. 1 + 𝐴 is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10703 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlem1arp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlem1arp.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlem1arp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem resqrexlem1arp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8177	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2		resqrexlem1arp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 8192	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
5		0lt1 8289	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 1)
7		resqrexlem1arp.agt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
9		addgtge0 8613	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
10	1, 3, 6, 8, 9	syl22anc 1272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (1 + 𝐴))
11	4, 10	elrpd 9906	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ+)
12		fvconst2g 5860	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
13	11, 12	sylancom 420	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
14	13, 11	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666   class class class wbr 4083   × cxp 4718  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℝcr 8014  0cc0 8015  1c1 8016   + caddc 8018   < clt 8197   ≤ cle 8198  ℕcn 9126  ℝ⁺crp 9866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-ov 6013  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-rp 9867

This theorem is referenced by:  resqrexlemf  11539  resqrexlemf1  11540  resqrexlemfp1  11541