Theorem resqrexlem1arp 11366

Description: Lemma for resqrex 11387. 1 + 𝐴 is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10622 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlem1arp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlem1arp.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlem1arp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem resqrexlem1arp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8100	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2		resqrexlem1arp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 8115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
5		0lt1 8212	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 1)
7		resqrexlem1arp.agt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
9		addgtge0 8536	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
10	1, 3, 6, 8, 9	syl22anc 1251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (1 + 𝐴))
11	4, 10	elrpd 9828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ+)
12		fvconst2g 5808	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
13	11, 12	sylancom 420	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
14	13, 11	eqeltrd 2283	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {csn 3635   class class class wbr 4048   × cxp 4678  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  ℝcr 7937  0cc0 7938  1c1 7939   + caddc 7941   < clt 8120   ≤ cle 8121  ℕcn 9049  ℝ⁺crp 9788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-fv 5285  df-ov 5957  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-rp 9789

This theorem is referenced by:  resqrexlemf  11368  resqrexlemf1  11369  resqrexlemfp1  11370