Theorem resqrexlem1arp 11152

Description: Lemma for resqrex 11173. 1 + 𝐴 is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10538 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlem1arp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlem1arp.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlem1arp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem resqrexlem1arp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8036	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2		resqrexlem1arp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 8051	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
5		0lt1 8148	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 1)
7		resqrexlem1arp.agt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
9		addgtge0 8471	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
10	1, 3, 6, 8, 9	syl22anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (1 + 𝐴))
11	4, 10	elrpd 9762	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ+)
12		fvconst2g 5773	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
13	11, 12	sylancom 420	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
14	13, 11	eqeltrd 2270	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {csn 3619   class class class wbr 4030   × cxp 4658  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   ≤ cle 8057  ℕcn 8984  ℝ⁺crp 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-rp 9723

This theorem is referenced by:  resqrexlemf  11154  resqrexlemf1  11155  resqrexlemfp1  11156