ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlem1arp GIF version

Theorem resqrexlem1arp 10784
Description: Lemma for resqrex 10805. 1 + 𝐴 is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10241 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlem1arp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlem1arp.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlem1arp ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem resqrexlem1arp
StepHypRef Expression
1 1red 7788 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2 resqrexlem1arp.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
41, 3readdcld 7802 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
5 0lt1 7896 . . . . . 6 0 < 1
65a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 1)
7 resqrexlem1arp.agt0 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
87adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
9 addgtge0 8219 . . . . 5 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
101, 3, 6, 8, 9syl22anc 1217 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (1 + 𝐴))
114, 10elrpd 9488 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ+)
12 fvconst2g 5634 . . 3 (((1 + 𝐴) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
1311, 12sylancom 416 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
1413, 11eqeltrd 2216 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  {csn 3527   class class class wbr 3929   × cxp 4537  cfv 5123  (class class class)co 5774  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   < clt 7807  cle 7808  cn 8727  +crp 9448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-rp 9449
This theorem is referenced by:  resqrexlemf  10786  resqrexlemf1  10787  resqrexlemfp1  10788
  Copyright terms: Public domain W3C validator