Theorem resqrexlem1arp 11502

Description: Lemma for resqrex 11523. 1 + 𝐴 is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10673 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlem1arp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlem1arp.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlem1arp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem resqrexlem1arp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2		resqrexlem1arp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 8164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
5		0lt1 8261	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 1)
7		resqrexlem1arp.agt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
9		addgtge0 8585	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
10	1, 3, 6, 8, 9	syl22anc 1272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (1 + 𝐴))
11	4, 10	elrpd 9877	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ+)
12		fvconst2g 5846	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
13	11, 12	sylancom 420	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
14	13, 11	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666   class class class wbr 4082   × cxp 4714  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  ℝcr 7986  0cc0 7987  1c1 7988   + caddc 7990   < clt 8169   ≤ cle 8170  ℕcn 9098  ℝ⁺crp 9837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fv 5322  df-ov 5997  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-rp 9838

This theorem is referenced by:  resqrexlemf  11504  resqrexlemf1  11505  resqrexlemfp1  11506