Theorem resqrexlemf1 11058

Description: Lemma for resqrex 11076. Initial value. Although this sequence converges to the square root with any positive initial value, this choice makes various steps in the proof of convergence easier. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemf1	|- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( 1 + A ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemf1

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . 4 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2	1	fveq1i 5538	. . 3 |- ( F ` 1 ) = ( seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ) ` 1 )
3		1zzd 9315	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		elnnuz 9600	. . . . 5 |- ( a e. NN <-> a e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5		resqrexlemex.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
6		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
7	5, 6	resqrexlem1arp 11055	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` a ) e. RR+ )
8	4, 7	sylan2br 288	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` a ) e. RR+ )
9	5, 6	resqrexlemp1rp 11056	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( a ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) b ) e. RR+ )
10	3, 8, 9	seq3-1 10499	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` 1 ) )
11	2, 10	eqtrid 2234	. 2 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` 1 ) )
12		1red 8007	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
13	12, 5	readdcld 8022	. . 3 |- ( ph -> ( 1 + A ) e. RR )
14		1nn 8965	. . 3 |- 1 e. NN
15		fvconst2g 5754	. . 3 |- ( ( ( 1 + A ) e. RR /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` 1 ) = ( 1 + A ) )
16	13, 14, 15	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` 1 ) = ( 1 + A ) )
17	11, 16	eqtrd 2222	1 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( 1 + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   {csn 3610   class class class wbr 4021   X. cxp 4645   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   e. cmpo 5902   RRcr 7845   0cc0 7846   1c1 7847   + caddc 7849   <_ cle 8028   / cdiv 8664   NNcn 8954   2c2 9005   ZZ>=cuz 9563   RR+crp 9689   seqcseq 10484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-rp 9690  df-seqfrec 10485

This theorem is referenced by:  resqrexlemover  11060  resqrexlemlo  11063