Theorem resqrexlemf1 10437

Description: Lemma for resqrex 10455. Initial value. Although this sequence converges to the square root with any positive initial value, this choice makes various steps in the proof of convergence easier. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemf1	|- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( 1 + A ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemf1

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . 4 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2	1	fveq1i 5306	. . 3 |- ( F ` 1 ) = ( seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ) ` 1 )
3		1zzd 8775	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		elnnuz 9053	. . . . 5 |- ( a e. NN <-> a e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5		resqrexlemex.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
6		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
7	5, 6	resqrexlem1arp 10434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` a ) e. RR+ )
8	4, 7	sylan2br 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` a ) e. RR+ )
9	5, 6	resqrexlemp1rp 10435	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( a ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) b ) e. RR+ )
10	3, 8, 9	seq3-1 9873	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` 1 ) )
11	2, 10	syl5eq 2132	. 2 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` 1 ) )
12		1red 7501	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
13	12, 5	readdcld 7515	. . 3 |- ( ph -> ( 1 + A ) e. RR )
14		1nn 8431	. . 3 |- 1 e. NN
15		fvconst2g 5511	. . 3 |- ( ( ( 1 + A ) e. RR /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` 1 ) = ( 1 + A ) )
16	13, 14, 15	sylancl 404	. 2 |- ( ph -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` 1 ) = ( 1 + A ) )
17	11, 16	eqtrd 2120	1 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( 1 + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1289   e. wcel 1438   {csn 3446   class class class wbr 3845   X. cxp 4436   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   |-> cmpt2 5654   RRcr 7347   0cc0 7348   1c1 7349   + caddc 7351   <_ cle 7521   / cdiv 8137   NNcn 8420   2c2 8471   ZZ>=cuz 9017   RR+crp 9132   seqcseq 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-rp 9133  df-iseq 9849  df-seq3 9850

This theorem is referenced by:  resqrexlemover  10439  resqrexlemlo  10442