Theorem rlmscabas 13992

Description: Scalars in the ring module have the same base set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rlmscabas	|- ( R e. X -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) ) )

Proof of Theorem rlmscabas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2	1	ressbasid 12724	. 2 |- ( R e. X -> ( Base ` ( R ↾s ( Base ` R ) ) ) = ( Base ` R ) )
3		rlmvalg 13986	. . . 4 |- ( R e. X -> (ringLMod ` R ) = ( (subringAlg ` R ) ` ( Base ` R ) ) )
4		ssidd 3204	. . . 4 |- ( R e. X -> ( Base ` R ) C_ ( Base ` R ) )
5		id 19	. . . 4 |- ( R e. X -> R e. X )
6	3, 4, 5	srascag 13974	. . 3 |- ( R e. X -> ( R ↾s ( Base ` R ) ) = (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) )
7	6	fveq2d 5562	. 2 |- ( R e. X -> ( Base ` ( R ↾s ( Base ` R ) ) ) = ( Base ` (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) ) )
8	2, 7	eqtr3d 2231	1 |- ( R e. X -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12654   ↾_s cress 12655  Scalarcsca 12734  ringLModcrglmod 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-ltxr 8064  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-5 9049  df-6 9050  df-7 9051  df-8 9052  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-sets 12661  df-iress 12662  df-mulr 12745  df-sca 12747  df-vsca 12748  df-ip 12749  df-sra 13967  df-rgmod 13968

This theorem is referenced by:  islidlm  14011  lidlrsppropdg  14027  rspsn  14066