Theorem strressid 13018

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
strressid.b	|- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
strressid.s	|- ( ph -> W Struct <. M , N >. )
strressid.f	|- ( ph -> Fun W )
strressid.bw	|- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom W )

Assertion

Ref	Expression
strressid	|- ( ph -> ( W ↾s B ) = W )

Proof of Theorem strressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strressid.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
2	1	ineq1d 3381	. . . . 5 |- ( ph -> ( B i^i ( Base ` W ) ) = ( ( Base ` W ) i^i ( Base ` W ) ) )
3		inidm 3390	. . . . 5 |- ( ( Base ` W ) i^i ( Base ` W ) ) = ( Base ` W )
4	2, 3	eqtrdi 2256	. . . 4 |- ( ph -> ( B i^i ( Base ` W ) ) = ( Base ` W ) )
5	4	opeq2d 3840	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , ( B i^i ( Base ` W ) ) >. = <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` W ) >. )
6	5	oveq2d 5983	. 2 |- ( ph -> ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( B i^i ( Base ` W ) ) >. ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` W ) >. ) )
7		strressid.s	. . . 4 |- ( ph -> W Struct <. M , N >. )
8		structex 12959	. . . 4 |- ( W Struct <. M , N >. -> W e. _V )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> W e. _V )
10		basfn 13005	. . . . 5 |- Base Fn _V
11		funfvex 5616	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
12	11	funfni 5395	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
13	10, 9, 12	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` W ) e. _V )
14	1, 13	eqeltrd 2284	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
15		ressvalsets 13011	. . 3 |- ( ( W e. _V /\ B e. _V ) -> ( W ↾s B ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( B i^i ( Base ` W ) ) >. ) )
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( W ↾s B ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( B i^i ( Base ` W ) ) >. ) )
17		baseid 13001	. . 3 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
18		strressid.f	. . 3 |- ( ph -> Fun W )
19		strressid.bw	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom W )
20	17, 7, 18, 19	strsetsid 12980	. 2 |- ( ph -> W = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` W ) >. ) )
21	6, 16, 20	3eqtr4d 2250	1 |- ( ph -> ( W ↾s B ) = W )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   i^i cin 3173   <.cop 3646   class class class wbr 4059   dom cdm 4693   Fun wfun 5284   Fn wfn 5285   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Struct cstr 12943   ndxcnx 12944   sSet csts 12945   Basecbs 12947   ↾_s cress 12948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955

This theorem is referenced by: (None)