Theorem strressid 13425

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
strressid.b	|- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
strressid.s	|- ( ph -> W Struct <. M , N >. )
strressid.f	|- ( ph -> Fun W )
strressid.bw	|- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom W )

Assertion

Ref	Expression
strressid	|- ( ph -> ( W ↾s B ) = W )

Proof of Theorem strressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strressid.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
2	1	ineq1d 3431	. . . . 5 |- ( ph -> ( B i^i ( Base ` W ) ) = ( ( Base ` W ) i^i ( Base ` W ) ) )
3		inidm 3440	. . . . 5 |- ( ( Base ` W ) i^i ( Base ` W ) ) = ( Base ` W )
4	2, 3	eqtrdi 2287	. . . 4 |- ( ph -> ( B i^i ( Base ` W ) ) = ( Base ` W ) )
5	4	opeq2d 3911	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , ( B i^i ( Base ` W ) ) >. = <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` W ) >. )
6	5	oveq2d 6101	. 2 |- ( ph -> ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( B i^i ( Base ` W ) ) >. ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` W ) >. ) )
7		strressid.s	. . . 4 |- ( ph -> W Struct <. M , N >. )
8		structex 13364	. . . 4 |- ( W Struct <. M , N >. -> W e. _V )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> W e. _V )
10		basfn 13411	. . . . 5 |- Base Fn _V
11		funfvex 5712	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
12	11	funfni 5483	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
13	10, 9, 12	sylancr 418	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` W ) e. _V )
14	1, 13	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
15		ressvalsets 13418	. . 3 |- ( ( W e. _V /\ B e. _V ) -> ( W ↾s B ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( B i^i ( Base ` W ) ) >. ) )
16	9, 14, 15	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( W ↾s B ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( B i^i ( Base ` W ) ) >. ) )
17		baseid 13406	. . 3 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
18		strressid.f	. . 3 |- ( ph -> Fun W )
19		strressid.bw	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom W )
20	17, 7, 18, 19	strsetsid 13385	. 2 |- ( ph -> W = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` W ) >. ) )
21	6, 16, 20	3eqtr4d 2281	1 |- ( ph -> ( W ↾s B ) = W )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   <.cop 3712   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Struct cstr 13348   ndxcnx 13349   sSet csts 13350   Basecbs 13352   ↾_s cress 13353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360

This theorem is used by: (None)