Theorem ressbasid 12748

Description: The trivial structure restriction leaves the base set unchanged. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressbasid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem ressbasid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵))
2		ressbasid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
4		id 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ 𝑉)
5		basfn 12736	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
6		elex 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
7		funfvex 5575	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
8	7	funfni 5358	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	2, 9	eqeltrid 2283	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
11	1, 3, 4, 10	ressbasd 12745	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)))
12		inidm 3372	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐵) = 𝐵
13	11, 12	eqtr3di 2244	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∩ cin 3156   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678   ↾_s cress 12679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686

This theorem is referenced by:  rlmscabas  14016