Theorem ressbasid 12579

Description: The trivial structure restriction leaves the base set unchanged. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressbasid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem ressbasid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2190	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵))
2		ressbasid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
4		id 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ 𝑉)
5		basfn 12569	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
6		elex 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
7		funfvex 5551	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
8	7	funfni 5335	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	2, 9	eqeltrid 2276	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
11	1, 3, 4, 10	ressbasd 12576	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)))
12		inidm 3359	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐵) = 𝐵
13	11, 12	eqtr3di 2237	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ∩ cin 3143   Fn wfn 5230  ‘cfv 5235  (class class class)co 5895  Basecbs 12511   ↾_s cress 12512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-inn 8949  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-iress 12519

This theorem is referenced by:  rlmscabas  13773