Theorem ressbasid 13367

Description: The trivial structure restriction leaves the base set unchanged. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressbasid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem ressbasid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2235	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵))
2		ressbasid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
4		id 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ 𝑉)
5		basfn 13355	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
6		elex 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
7		funfvex 5692	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
8	7	funfni 5463	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	2, 9	eqeltrid 2321	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
11	1, 3, 4, 10	ressbasd 13364	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)))
12		inidm 3434	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐵) = 𝐵
13	11, 12	eqtr3di 2282	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∩ cin 3213   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296   ↾_s cress 13297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304

This theorem is referenced by:  rlmscabas  14734