Theorem ressbasid 13152

Description: The trivial structure restriction leaves the base set unchanged. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressbasid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem ressbasid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵))
2		ressbasid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
4		id 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ 𝑉)
5		basfn 13140	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
6		elex 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
7		funfvex 5656	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
8	7	funfni 5432	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	2, 9	eqeltrid 2318	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
11	1, 3, 4, 10	ressbasd 13149	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)))
12		inidm 3416	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐵) = 𝐵
13	11, 12	eqtr3di 2279	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∩ cin 3199   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Basecbs 13081   ↾_s cress 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-inn 9143  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089

This theorem is referenced by:  rlmscabas  14473