Theorem ressbasid 12821

Description: The trivial structure restriction leaves the base set unchanged. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressbasid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem ressbasid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2205	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵))
2		ressbasid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
4		id 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ 𝑉)
5		basfn 12809	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
6		elex 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
7		funfvex 5587	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
8	7	funfni 5370	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	2, 9	eqeltrid 2291	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
11	1, 3, 4, 10	ressbasd 12818	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)))
12		inidm 3381	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐵) = 𝐵
13	11, 12	eqtr3di 2252	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ∩ cin 3164   Fn wfn 5263  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  Basecbs 12751   ↾_s cress 12752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-inn 9019  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-iress 12759

This theorem is referenced by:  rlmscabas  14140