Theorem rlmvalg 13934

Description: Value of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvalg	|- ( W e. V -> (ringLMod ` W ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )

Proof of Theorem rlmvalg

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rgmod 13916	. 2 |- ringLMod = ( a e. _V |-> ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) )
2		fveq2 5546	. . 3 |- ( a = W -> (subringAlg ` a ) = (subringAlg ` W ) )
3		fveq2 5546	. . 3 |- ( a = W -> ( Base ` a ) = ( Base ` W ) )
4	2, 3	fveq12d 5553	. 2 |- ( a = W -> ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )
5		elex 2771	. 2 |- ( W e. V -> W e. _V )
6		eqidd 2194	. . 3 |- ( W e. V -> ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )
7		ssidd 3200	. . 3 |- ( W e. V -> ( Base ` W ) C_ ( Base ` W ) )
8		id 19	. . 3 |- ( W e. V -> W e. V )
9	6, 7, 8	sraex 13926	. 2 |- ( W e. V -> ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) e. _V )
10	1, 4, 5, 9	fvmptd3 5643	1 |- ( W e. V -> (ringLMod ` W ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   ` cfv 5246   Basecbs 12608  subringAlg csra 13913  ringLModcrglmod 13914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1re 7956  ax-addrcl 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-iress 12616  df-mulr 12699  df-sca 12701  df-vsca 12702  df-ip 12703  df-sra 13915  df-rgmod 13916

This theorem is referenced by:  rlmbasg  13935  rlmplusgg  13936  rlm0g  13937  rlmmulrg  13939  rlmscabas  13940  rlmvscag  13941  rlmtopng  13942  rlmdsg  13943  rlmlmod  13944