Theorem rlmvalg 14791

Description: Value of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvalg	|- ( W e. V -> (ringLMod ` W ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )

Proof of Theorem rlmvalg

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rgmod 14773	. 2 |- ringLMod = ( a e. _V |-> ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) )
2		fveq2 5695	. . 3 |- ( a = W -> (subringAlg ` a ) = (subringAlg ` W ) )
3		fveq2 5695	. . 3 |- ( a = W -> ( Base ` a ) = ( Base ` W ) )
4	2, 3	fveq12d 5702	. 2 |- ( a = W -> ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )
5		elex 2833	. 2 |- ( W e. V -> W e. _V )
6		eqidd 2239	. . 3 |- ( W e. V -> ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )
7		ssidd 3269	. . 3 |- ( W e. V -> ( Base ` W ) C_ ( Base ` W ) )
8		id 19	. . 3 |- ( W e. V -> W e. V )
9	6, 7, 8	sraex 14783	. 2 |- ( W e. V -> ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) e. _V )
10	1, 4, 5, 9	fvmptd3 5799	1 |- ( W e. V -> (ringLMod ` W ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ` cfv 5377   Basecbs 13352  subringAlg csra 14770  ringLModcrglmod 14771

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-ip 13449  df-sra 14772  df-rgmod 14773

This theorem is used by:  rlmbasg  14792  rlmplusgg  14793  rlm0g  14794  rlmmulrg  14796  rlmscabas  14797  rlmvscag  14798  rlmtopng  14799  rlmdsg  14800  rlmlmod  14801