Theorem rlmvalg 14467

Description: Value of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvalg	|- ( W e. V -> (ringLMod ` W ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )

Proof of Theorem rlmvalg

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rgmod 14449	. 2 |- ringLMod = ( a e. _V |-> ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) )
2		fveq2 5639	. . 3 |- ( a = W -> (subringAlg ` a ) = (subringAlg ` W ) )
3		fveq2 5639	. . 3 |- ( a = W -> ( Base ` a ) = ( Base ` W ) )
4	2, 3	fveq12d 5646	. 2 |- ( a = W -> ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )
5		elex 2814	. 2 |- ( W e. V -> W e. _V )
6		eqidd 2232	. . 3 |- ( W e. V -> ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )
7		ssidd 3248	. . 3 |- ( W e. V -> ( Base ` W ) C_ ( Base ` W ) )
8		id 19	. . 3 |- ( W e. V -> W e. V )
9	6, 7, 8	sraex 14459	. 2 |- ( W e. V -> ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) e. _V )
10	1, 4, 5, 9	fvmptd3 5740	1 |- ( W e. V -> (ringLMod ` W ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ` cfv 5326   Basecbs 13081  subringAlg csra 14446  ringLModcrglmod 14447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-sra 14448  df-rgmod 14449

This theorem is referenced by:  rlmbasg  14468  rlmplusgg  14469  rlm0g  14470  rlmmulrg  14472  rlmscabas  14473  rlmvscag  14474  rlmtopng  14475  rlmdsg  14476  rlmlmod  14477