Theorem rlmvalg 14412

Description: Value of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvalg	|- ( W e. V -> (ringLMod ` W ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )

Proof of Theorem rlmvalg

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rgmod 14394	. 2 |- ringLMod = ( a e. _V |-> ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) )
2		fveq2 5626	. . 3 |- ( a = W -> (subringAlg ` a ) = (subringAlg ` W ) )
3		fveq2 5626	. . 3 |- ( a = W -> ( Base ` a ) = ( Base ` W ) )
4	2, 3	fveq12d 5633	. 2 |- ( a = W -> ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )
5		elex 2811	. 2 |- ( W e. V -> W e. _V )
6		eqidd 2230	. . 3 |- ( W e. V -> ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )
7		ssidd 3245	. . 3 |- ( W e. V -> ( Base ` W ) C_ ( Base ` W ) )
8		id 19	. . 3 |- ( W e. V -> W e. V )
9	6, 7, 8	sraex 14404	. 2 |- ( W e. V -> ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) e. _V )
10	1, 4, 5, 9	fvmptd3 5727	1 |- ( W e. V -> (ringLMod ` W ) = ( (subringAlg ` W ) ` ( Base ` W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   ` cfv 5317   Basecbs 13027  subringAlg csra 14391  ringLModcrglmod 14392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-iress 13035  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-ip 13123  df-sra 14393  df-rgmod 14394

This theorem is referenced by:  rlmbasg  14413  rlmplusgg  14414  rlm0g  14415  rlmmulrg  14417  rlmscabas  14418  rlmvscag  14419  rlmtopng  14420  rlmdsg  14421  rlmlmod  14422