Theorem rlmfn 13786

Description: ringLMod is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlmfn	|- ringLMod Fn _V

Proof of Theorem rlmfn

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2190	. . . 4 |- ( T. -> ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) = ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) )
2		ssidd 3191	. . . 4 |- ( T. -> ( Base ` a ) C_ ( Base ` a ) )
3		vex 2755	. . . . 5 |- a e. _V
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> a e. _V )
5	1, 2, 4	sraex 13779	. . 3 |- ( T. -> ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) e. _V )
6	5	mptru 1373	. 2 |- ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) e. _V
7		df-rgmod 13769	. 2 |- ringLMod = ( a e. _V |-> ( (subringAlg ` a ) ` ( Base ` a ) ) )
8	6, 7	fnmpti 5363	1 |- ringLMod Fn _V

Syntax hints:   T. wtru 1365   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   Fn wfn 5230   ` cfv 5235   Basecbs 12515  subringAlg csra 13766  ringLModcrglmod 13767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-iress 12523  df-mulr 12606  df-sca 12608  df-vsca 12609  df-ip 12610  df-sra 13768  df-rgmod 13769

This theorem is referenced by:  rlmsubg  13791  rlmvnegg  13798  ixpsnbasval  13799  lidlvalg  13804  rspvalg  13805  lidlex  13806  rspex  13807  lidlmex  13808  lidlss  13809  lidlrsppropdg  13828