Theorem rlmvalg 14461

Description: Value of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvalg	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))

Proof of Theorem rlmvalg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rgmod 14443	. 2 ⊢ ringLMod = (𝑎 ∈ V ↦ ((subringAlg ‘𝑎)‘(Base‘𝑎)))
2		fveq2 5635	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (subringAlg ‘𝑎) = (subringAlg ‘𝑊))
3		fveq2 5635	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (Base‘𝑎) = (Base‘𝑊))
4	2, 3	fveq12d 5642	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((subringAlg ‘𝑎)‘(Base‘𝑎)) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
5		elex 2812	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
6		eqidd 2230	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
7		ssidd 3246	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝑊))
8		id 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ 𝑉)
9	6, 7, 8	sraex 14453	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ∈ V)
10	1, 4, 5, 9	fvmptd3 5736	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ‘cfv 5324  Basecbs 13075  subringAlg csra 14440  ringLModcrglmod 14441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-ip 13171  df-sra 14442  df-rgmod 14443

This theorem is referenced by:  rlmbasg  14462  rlmplusgg  14463  rlm0g  14464  rlmmulrg  14466  rlmscabas  14467  rlmvscag  14468  rlmtopng  14469  rlmdsg  14470  rlmlmod  14471