Theorem rlmvalg 13953

Description: Value of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvalg	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))

Proof of Theorem rlmvalg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rgmod 13935	. 2 ⊢ ringLMod = (𝑎 ∈ V ↦ ((subringAlg ‘𝑎)‘(Base‘𝑎)))
2		fveq2 5555	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (subringAlg ‘𝑎) = (subringAlg ‘𝑊))
3		fveq2 5555	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (Base‘𝑎) = (Base‘𝑊))
4	2, 3	fveq12d 5562	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((subringAlg ‘𝑎)‘(Base‘𝑎)) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
5		elex 2771	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
6		eqidd 2194	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
7		ssidd 3201	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝑊))
8		id 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ 𝑉)
9	6, 7, 8	sraex 13945	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ∈ V)
10	1, 4, 5, 9	fvmptd3 5652	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ‘cfv 5255  Basecbs 12621  subringAlg csra 13932  ringLModcrglmod 13933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-ip 12716  df-sra 13934  df-rgmod 13935

This theorem is referenced by:  rlmbasg  13954  rlmplusgg  13955  rlm0g  13956  rlmmulrg  13958  rlmscabas  13959  rlmvscag  13960  rlmtopng  13961  rlmdsg  13962  rlmlmod  13963