Theorem rlmvalg 14286

Description: Value of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvalg	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))

Proof of Theorem rlmvalg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rgmod 14268	. 2 ⊢ ringLMod = (𝑎 ∈ V ↦ ((subringAlg ‘𝑎)‘(Base‘𝑎)))
2		fveq2 5588	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (subringAlg ‘𝑎) = (subringAlg ‘𝑊))
3		fveq2 5588	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (Base‘𝑎) = (Base‘𝑊))
4	2, 3	fveq12d 5595	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((subringAlg ‘𝑎)‘(Base‘𝑎)) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
5		elex 2785	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
6		eqidd 2207	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
7		ssidd 3218	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝑊))
8		id 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ 𝑉)
9	6, 7, 8	sraex 14278	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ∈ V)
10	1, 4, 5, 9	fvmptd3 5685	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ‘cfv 5279  Basecbs 12902  subringAlg csra 14265  ringLModcrglmod 14266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1re 8034  ax-addrcl 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-5 9113  df-6 9114  df-7 9115  df-8 9116  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-sets 12909  df-iress 12910  df-mulr 12993  df-sca 12995  df-vsca 12996  df-ip 12997  df-sra 14267  df-rgmod 14268

This theorem is referenced by:  rlmbasg  14287  rlmplusgg  14288  rlm0g  14289  rlmmulrg  14291  rlmscabas  14292  rlmvscag  14293  rlmtopng  14294  rlmdsg  14295  rlmlmod  14296