Theorem rlmvalg 13767

Description: Value of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvalg	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))

Proof of Theorem rlmvalg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rgmod 13749	. 2 ⊢ ringLMod = (𝑎 ∈ V ↦ ((subringAlg ‘𝑎)‘(Base‘𝑎)))
2		fveq2 5534	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (subringAlg ‘𝑎) = (subringAlg ‘𝑊))
3		fveq2 5534	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → (Base‘𝑎) = (Base‘𝑊))
4	2, 3	fveq12d 5541	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑊 → ((subringAlg ‘𝑎)‘(Base‘𝑎)) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
5		elex 2763	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
6		eqidd 2190	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
7		ssidd 3191	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝑊))
8		id 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ 𝑉)
9	6, 7, 8	sraex 13759	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ∈ V)
10	1, 4, 5, 9	fvmptd3 5629	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) = ((subringAlg ‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752  ‘cfv 5235  Basecbs 12511  subringAlg csra 13746  ringLModcrglmod 13747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-7 9012  df-8 9013  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-iress 12519  df-mulr 12600  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-ip 12604  df-sra 13748  df-rgmod 13749

This theorem is referenced by:  rlmbasg  13768  rlmplusgg  13769  rlm0g  13770  rlmmulrg  13772  rlmscabas  13773  rlmvscag  13774  rlmtopng  13775  rlmdsg  13776  rlmlmod  13777