Theorem rennim 10260

Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rennim	|- ( A e. RR -> ( _i x. A ) e/ RR+ )

Proof of Theorem rennim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7341	. . . . . . 7 |- _i e. CC
2		recn 7376	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
3		mulcl 7370	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
4	1, 2, 3	sylancr 405	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( _i x. A ) e. CC )
5		rpre 9033	. . . . . . 7 |- ( ( _i x. A ) e. RR+ -> ( _i x. A ) e. RR )
6		rereb 10122	. . . . . . 7 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( ( _i x. A ) e. RR <-> ( Re ` ( _i x. A ) ) = ( _i x. A ) ) )
7	5, 6	syl5ib 152	. . . . . 6 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( ( _i x. A ) e. RR+ -> ( Re ` ( _i x. A ) ) = ( _i x. A ) ) )
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( _i x. A ) e. RR+ -> ( Re ` ( _i x. A ) ) = ( _i x. A ) ) )
9	4	addid2d 7533	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( 0 + ( _i x. A ) ) = ( _i x. A ) )
10	9	fveq2d 5255	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( Re ` ( 0 + ( _i x. A ) ) ) = ( Re ` ( _i x. A ) ) )
11		0re 7389	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
12		crre 10116	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( Re ` ( 0 + ( _i x. A ) ) ) = 0 )
13	11, 12	mpan 415	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( Re ` ( 0 + ( _i x. A ) ) ) = 0 )
14	10, 13	eqtr3d 2117	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( Re ` ( _i x. A ) ) = 0 )
15	14	eqeq1d 2091	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( Re ` ( _i x. A ) ) = ( _i x. A ) <-> 0 = ( _i x. A ) ) )
16	8, 15	sylibd 147	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( _i x. A ) e. RR+ -> 0 = ( _i x. A ) ) )
17		rpne0 9042	. . . . . 6 |- ( ( _i x. A ) e. RR+ -> ( _i x. A ) =/= 0 )
18	17	necon2bi 2304	. . . . 5 |- ( ( _i x. A ) = 0 -> -. ( _i x. A ) e. RR+ )
19	18	eqcoms 2086	. . . 4 |- ( 0 = ( _i x. A ) -> -. ( _i x. A ) e. RR+ )
20	16, 19	syl6 33	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( _i x. A ) e. RR+ -> -. ( _i x. A ) e. RR+ ) )
21	20	pm2.01d 581	. 2 |- ( A e. RR -> -. ( _i x. A ) e. RR+ )
22		df-nel 2345	. 2 |- ( ( _i x. A ) e/ RR+ <-> -. ( _i x. A ) e. RR+ )
23	21, 22	sylibr 132	1 |- ( A e. RR -> ( _i x. A ) e/ RR+ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1285   e. wcel 1434   e/ wnel 2344   ` cfv 4967  (class class class)co 5589   CCcc 7249   RRcr 7250   0cc0 7251   _ici 7253   + caddc 7254   x. cmul 7256   RR+crp 9027   Recre 10099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-2 8373  df-rp 9028  df-cj 10101  df-re 10102  df-im 10103

This theorem is referenced by: (None)