ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rennim Unicode version

Theorem rennim 10260
Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
rennim  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e/  RR+ )

Proof of Theorem rennim
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7341 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
2 recn 7376 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
3 mulcl 7370 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
41, 2, 3sylancr 405 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
5 rpre 9033 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  RR+  ->  ( _i  x.  A )  e.  RR )
6 rereb 10122 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  e.  RR  <->  ( Re `  ( _i  x.  A
) )  =  ( _i  x.  A ) ) )
75, 6syl5ib 152 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  e.  RR+  ->  ( Re `  ( _i  x.  A ) )  =  ( _i  x.  A ) ) )
84, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( _i  x.  A
)  e.  RR+  ->  ( Re `  ( _i  x.  A ) )  =  ( _i  x.  A ) ) )
94addid2d 7533 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  +  ( _i  x.  A ) )  =  ( _i  x.  A ) )
109fveq2d 5255 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  ( 0  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( Re `  ( _i  x.  A
) ) )
11 0re 7389 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
12 crre 10116 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( Re `  (
0  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  0 )
1311, 12mpan 415 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  ( 0  +  ( _i  x.  A ) ) )  =  0 )
1410, 13eqtr3d 2117 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  ( _i  x.  A ) )  =  0 )
1514eqeq1d 2091 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( Re `  (
_i  x.  A )
)  =  ( _i  x.  A )  <->  0  =  ( _i  x.  A
) ) )
168, 15sylibd 147 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( _i  x.  A
)  e.  RR+  ->  0  =  ( _i  x.  A ) ) )
17 rpne0 9042 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  RR+  ->  ( _i  x.  A )  =/=  0 )
1817necon2bi 2304 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  A )  =  0  ->  -.  ( _i  x.  A
)  e.  RR+ )
1918eqcoms 2086 . . . 4  |-  ( 0  =  ( _i  x.  A )  ->  -.  ( _i  x.  A
)  e.  RR+ )
2016, 19syl6 33 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( _i  x.  A
)  e.  RR+  ->  -.  ( _i  x.  A
)  e.  RR+ )
)
2120pm2.01d 581 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  ( _i  x.  A
)  e.  RR+ )
22 df-nel 2345 . 2  |-  ( ( _i  x.  A )  e/  RR+  <->  -.  ( _i  x.  A )  e.  RR+ )
2321, 22sylibr 132 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e/  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434    e/ wnel 2344   ` cfv 4967  (class class class)co 5589   CCcc 7249   RRcr 7250   0cc0 7251   _ici 7253    + caddc 7254    x. cmul 7256   RR+crp 9027   Recre 10099
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-2 8373  df-rp 9028  df-cj 10101  df-re 10102  df-im 10103
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator