Theorem logrpap0b 14754

Description: The logarithm is apart from 0 if and only if its argument is apart from 1. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
logrpap0b	|- ( A e. RR+ -> ( A # 1 <-> ( log ` A ) # 0 ) )

Proof of Theorem logrpap0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 9687	. . . . 5 |- 1 e. RR+
2		logltb 14752	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> ( A < 1 <-> ( log ` A ) < ( log ` 1 ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( A < 1 <-> ( log ` A ) < ( log ` 1 ) ) )
4		log1 14744	. . . . 5 |- ( log ` 1 ) = 0
5	4	breq2i 4026	. . . 4 |- ( ( log ` A ) < ( log ` 1 ) <-> ( log ` A ) < 0 )
6	3, 5	bitrdi 196	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( A < 1 <-> ( log ` A ) < 0 ) )
7		logltb 14752	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A e. RR+ ) -> ( 1 < A <-> ( log ` 1 ) < ( log ` A ) ) )
8	1, 7	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( 1 < A <-> ( log ` 1 ) < ( log ` A ) ) )
9	4	breq1i 4025	. . . 4 |- ( ( log ` 1 ) < ( log ` A ) <-> 0 < ( log ` A ) )
10	8, 9	bitrdi 196	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( 1 < A <-> 0 < ( log ` A ) ) )
11	6, 10	orbi12d 794	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( ( A < 1 \/ 1 < A ) <-> ( ( log ` A ) < 0 \/ 0 < ( log ` A ) ) ) )
12		rpre 9690	. . 3 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
13		1re 7986	. . 3 |- 1 e. RR
14		reaplt 8575	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
15	12, 13, 14	sylancl 413	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
16		relogcl 14740	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. RR )
17		0re 7987	. . 3 |- 0 e. RR
18		reaplt 8575	. . 3 |- ( ( ( log ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( log ` A ) # 0 <-> ( ( log ` A ) < 0 \/ 0 < ( log ` A ) ) ) )
19	16, 17, 18	sylancl 413	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` A ) # 0 <-> ( ( log ` A ) < 0 \/ 0 < ( log ` A ) ) ) )
20	11, 15, 19	3bitr4d 220	1 |- ( A e. RR+ -> ( A # 1 <-> ( log ` A ) # 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842   < clt 8022   # cap 8568   RR+crp 9683   logclog 14734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961  ax-pre-suploc 7962  ax-addf 7963  ax-mulf 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-of 6106  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-map 6676  df-pm 6677  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-xneg 9802  df-xadd 9803  df-ioo 9922  df-ico 9924  df-icc 9925  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-fac 10738  df-bc 10760  df-ihash 10788  df-shft 10856  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394  df-ef 11688  df-e 11689  df-rest 12746  df-topgen 12765  df-psmet 13856  df-xmet 13857  df-met 13858  df-bl 13859  df-mopn 13860  df-top 13955  df-topon 13968  df-bases 14000  df-ntr 14053  df-cn 14145  df-cnp 14146  df-tx 14210  df-cncf 14515  df-limced 14582  df-dvap 14583  df-relog 14736

This theorem is referenced by:  logrpap0  14755  logrpap0d  14756