Theorem logrpap0b 15112

Description: The logarithm is apart from 0 if and only if its argument is apart from 1. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
logrpap0b	|- ( A e. RR+ -> ( A # 1 <-> ( log ` A ) # 0 ) )

Proof of Theorem logrpap0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 9732	. . . . 5 |- 1 e. RR+
2		logltb 15110	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> ( A < 1 <-> ( log ` A ) < ( log ` 1 ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( A < 1 <-> ( log ` A ) < ( log ` 1 ) ) )
4		log1 15102	. . . . 5 |- ( log ` 1 ) = 0
5	4	breq2i 4041	. . . 4 |- ( ( log ` A ) < ( log ` 1 ) <-> ( log ` A ) < 0 )
6	3, 5	bitrdi 196	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( A < 1 <-> ( log ` A ) < 0 ) )
7		logltb 15110	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A e. RR+ ) -> ( 1 < A <-> ( log ` 1 ) < ( log ` A ) ) )
8	1, 7	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( 1 < A <-> ( log ` 1 ) < ( log ` A ) ) )
9	4	breq1i 4040	. . . 4 |- ( ( log ` 1 ) < ( log ` A ) <-> 0 < ( log ` A ) )
10	8, 9	bitrdi 196	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( 1 < A <-> 0 < ( log ` A ) ) )
11	6, 10	orbi12d 794	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( ( A < 1 \/ 1 < A ) <-> ( ( log ` A ) < 0 \/ 0 < ( log ` A ) ) ) )
12		rpre 9735	. . 3 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
13		1re 8025	. . 3 |- 1 e. RR
14		reaplt 8615	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
15	12, 13, 14	sylancl 413	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
16		relogcl 15098	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. RR )
17		0re 8026	. . 3 |- 0 e. RR
18		reaplt 8615	. . 3 |- ( ( ( log ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( log ` A ) # 0 <-> ( ( log ` A ) < 0 \/ 0 < ( log ` A ) ) ) )
19	16, 17, 18	sylancl 413	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` A ) # 0 <-> ( ( log ` A ) < 0 \/ 0 < ( log ` A ) ) ) )
20	11, 15, 19	3bitr4d 220	1 |- ( A e. RR+ -> ( A # 1 <-> ( log ` A ) # 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   < clt 8061   # cap 8608   RR+crp 9728   logclog 15092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-pre-suploc 8000  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-pm 6710  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-ioo 9967  df-ico 9969  df-icc 9970  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-bc 10840  df-ihash 10868  df-shft 10980  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813  df-e 11814  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893  df-relog 15094

This theorem is referenced by:  logrpap0  15113  logrpap0d  15114