ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reeff1o Unicode version

Theorem reeff1o 13453
Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reeff1o  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+

Proof of Theorem reeff1o
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reeff1 11656 . 2  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-> RR+
2 f1f 5401 . . . 4  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-> RR+  ->  ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+ )
3 ffn 5345 . . . 4  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+  ->  ( exp  |`  RR )  Fn  RR )
41, 2, 3mp2b 8 . . 3  |-  ( exp  |`  RR )  Fn  RR
5 frn 5354 . . . . 5  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+  ->  ran  ( exp  |`  RR )  C_  RR+ )
61, 2, 5mp2b 8 . . . 4  |-  ran  ( exp  |`  RR )  C_  RR+
7 rpre 9610 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e.  RR )
8 reeff1olem 13451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR  /\  1  <  z )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x )  =  z )
97, 8sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR+  /\  1  <  z )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  z )
107adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR+  /\  z  <  _e )  ->  z  e.  RR )
11 rpgt0 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR+  ->  0  < 
z )
1211adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR+  /\  z  <  _e )  ->  0  <  z )
13 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR+  /\  z  <  _e )  ->  z  <  _e )
14 0xr 7959 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
15 ere 11626 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
1615rexri 7970 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  e.  RR*
17 elioo2 9871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  _e  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ( 0 (,) _e )  <->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z  /\  z  <  _e ) ) )
1814, 16, 17mp2an 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0 (,) _e )  <->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z  /\  z  <  _e ) )
19 reeff1oleme 13452 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0 (,) _e )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  z )
2018, 19sylbir 134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <  z  /\  z  <  _e )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  z )
2110, 12, 13, 20syl3anc 1233 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR+  /\  z  <  _e )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  z )
22 1lt2 9040 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
23 egt2lt3 11735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
2423simpli 110 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  _e
25 1re 7912 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
26 2re 8941 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
2725, 26, 15lttri 8017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  <  2  /\  2  <  _e )  ->  1  <  _e )
2822, 24, 27mp2an 424 . . . . . . . . 9  |-  1  <  _e
29 1red 7928 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
3015a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR+  ->  _e  e.  RR )
31 axltwlin 7980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
1  <  _e  ->  ( 1  <  z  \/  z  <  _e ) ) )
3229, 30, 7, 31syl3anc 1233 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( 1  <  _e  ->  (
1  <  z  \/  z  <  _e ) ) )
3328, 32mpi 15 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( 1  <  z  \/  z  <  _e ) )
349, 21, 33mpjaodan 793 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR+  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  z )
35 fvres 5518 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 x )  =  ( exp `  x
) )
3635eqeq1d 2179 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( exp  |`  RR ) `
 x )  =  z  <->  ( exp `  x
)  =  z ) )
3736rexbiia 2485 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR  (
( exp  |`  RR ) `
 x )  =  z  <->  E. x  e.  RR  ( exp `  x )  =  z )
3834, 37sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR+  ->  E. x  e.  RR  ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  =  z )
39 fvelrnb 5542 . . . . . . 7  |-  ( ( exp  |`  RR )  Fn  RR  ->  ( z  e.  ran  ( exp  |`  RR )  <->  E. x  e.  RR  ( ( exp  |`  RR ) `
 x )  =  z ) )
404, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ran  ( exp  |`  RR )  <->  E. x  e.  RR  ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  =  z )
4138, 40sylibr 133 . . . . 5  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e. 
ran  ( exp  |`  RR ) )
4241ssriv 3151 . . . 4  |-  RR+  C_  ran  ( exp  |`  RR )
436, 42eqssi 3163 . . 3  |-  ran  ( exp  |`  RR )  = 
RR+
44 df-fo 5202 . . 3  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -onto-> RR+  <->  ( ( exp  |`  RR )  Fn  RR  /\ 
ran  ( exp  |`  RR )  =  RR+ ) )
454, 43, 44mpbir2an 937 . 2  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -onto-> RR+
46 df-f1o 5203 . 2  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  <->  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-> RR+ 
/\  ( exp  |`  RR ) : RR -onto-> RR+ )
)
471, 45, 46mpbir2an 937 1  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   E.wrex 2449    C_ wss 3121   class class class wbr 3987   ran crn 4610    |` cres 4611    Fn wfn 5191   -->wf 5192   -1-1->wf1 5193   -onto->wfo 5194   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   RRcr 7766   0cc0 7767   1c1 7768   RR*cxr 7946    < clt 7947   2c2 8922   3c3 8923   RR+crp 9603   (,)cioo 9838   expce 11598   _eceu 11599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887  ax-pre-suploc 7888  ax-addf 7889  ax-mulf 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-of 6059  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-er 6511  df-map 6626  df-pm 6627  df-en 6717  df-dom 6718  df-fin 6719  df-sup 6959  df-inf 6960  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-rp 9604  df-xneg 9722  df-xadd 9723  df-ioo 9842  df-ico 9844  df-icc 9845  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-fac 10653  df-bc 10675  df-ihash 10703  df-shft 10772  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-clim 11235  df-sumdc 11310  df-ef 11604  df-e 11605  df-rest 12574  df-topgen 12593  df-psmet 12746  df-xmet 12747  df-met 12748  df-bl 12749  df-mopn 12750  df-top 12755  df-topon 12768  df-bases 12800  df-ntr 12855  df-cn 12947  df-cnp 12948  df-tx 13012  df-cncf 13317  df-limced 13384  df-dvap 13385
This theorem is referenced by:  reefiso  13457  dfrelog  13540  relogf1o  13541  reeflog  13543
  Copyright terms: Public domain W3C validator