Theorem cxple3 13228

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cxple3	|- ( ( ( A e. RR+ /\ A < 1 ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B <_ C <-> ( A ^c C ) <_ ( A ^c B ) ) )

Proof of Theorem cxple3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxplt3 13227	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A < 1 ) /\ ( C e. RR /\ B e. RR ) ) -> ( C < B <-> ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )
2	1	ancom2s 556	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A < 1 ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( C < B <-> ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )
3	2	notbid 657	. 2 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A < 1 ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( -. C < B <-> -. ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )
4		lenlt 7948	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
5	4	adantl 275	. 2 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A < 1 ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
6		rpcxpcl 13211	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ C e. RR ) -> ( A ^c C ) e. RR+ )
7	6	ad2ant2rl 503	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A < 1 ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( A ^c C ) e. RR+ )
8		rpcxpcl 13211	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR ) -> ( A ^c B ) e. RR+ )
9	8	ad2ant2r 501	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A < 1 ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( A ^c B ) e. RR+ )
10		rpre 9562	. . . 4 |- ( ( A ^c C ) e. RR+ -> ( A ^c C ) e. RR )
11		rpre 9562	. . . 4 |- ( ( A ^c B ) e. RR+ -> ( A ^c B ) e. RR )
12		lenlt 7948	. . . 4 |- ( ( ( A ^c C ) e. RR /\ ( A ^c B ) e. RR ) -> ( ( A ^c C ) <_ ( A ^c B ) <-> -. ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )
13	10, 11, 12	syl2an 287	. . 3 |- ( ( ( A ^c C ) e. RR+ /\ ( A ^c B ) e. RR+ ) -> ( ( A ^c C ) <_ ( A ^c B ) <-> -. ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )
14	7, 9, 13	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A < 1 ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( ( A ^c C ) <_ ( A ^c B ) <-> -. ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )
15	3, 5, 14	3bitr4d 219	1 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A < 1 ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B <_ C <-> ( A ^c C ) <_ ( A ^c B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   RRcr 7726   1c1 7728   < clt 7907   <_ cle 7908   RR+crp 9555   ^c ccxp 13165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846  ax-caucvg 7847  ax-pre-suploc 7848  ax-addf 7849  ax-mulf 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-of 6029  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-map 6592  df-pm 6593  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-sup 6925  df-inf 6926  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-3 8888  df-4 8889  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-q 9524  df-rp 9556  df-xneg 9674  df-xadd 9675  df-ioo 9791  df-ico 9793  df-icc 9794  df-fz 9908  df-fzo 10037  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-fac 10595  df-bc 10617  df-ihash 10645  df-shft 10710  df-cj 10737  df-re 10738  df-im 10739  df-rsqrt 10893  df-abs 10894  df-clim 11171  df-sumdc 11246  df-ef 11540  df-e 11541  df-rest 12340  df-topgen 12359  df-psmet 12374  df-xmet 12375  df-met 12376  df-bl 12377  df-mopn 12378  df-top 12383  df-topon 12396  df-bases 12428  df-ntr 12483  df-cn 12575  df-cnp 12576  df-tx 12640  df-cncf 12945  df-limced 13012  df-dvap 13013  df-relog 13166  df-rpcxp 13167

This theorem is referenced by:  cxple3d  13242