Theorem scafvalg 13803

Description: The scalar multiplication operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
scaffval.b	|- B = ( Base ` W )
scaffval.f	|- F = (Scalar ` W )
scaffval.k	|- K = ( Base ` F )
scaffval.a	|- .xb = ( .sf ` W )
scaffval.s	|- .x. = ( .s ` W )

Assertion

Ref	Expression
scafvalg	|- ( ( W e. V /\ X e. K /\ Y e. B ) -> ( X .xb Y ) = ( X .x. Y ) )

Proof of Theorem scafvalg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaffval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
2		scaffval.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
3		scaffval.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
4		scaffval.a	. . . 4 |- .xb = ( .sf ` W )
5		scaffval.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
6	1, 2, 3, 4, 5	scaffvalg 13802	. . 3 |- ( W e. V -> .xb = ( x e. K , y e. B |-> ( x .x. y ) ) )
7	6	3ad2ant1 1020	. 2 |- ( ( W e. V /\ X e. K /\ Y e. B ) -> .xb = ( x e. K , y e. B |-> ( x .x. y ) ) )
8		oveq12 5927	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) )
9	8	adantl 277	. 2 |- ( ( ( W e. V /\ X e. K /\ Y e. B ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) )
10		simp2 1000	. 2 |- ( ( W e. V /\ X e. K /\ Y e. B ) -> X e. K )
11		simp3 1001	. 2 |- ( ( W e. V /\ X e. K /\ Y e. B ) -> Y e. B )
12		vscaslid 12780	. . . . . 6 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
13	12	slotex 12645	. . . . 5 |- ( W e. V -> ( .s ` W ) e. _V )
14	5, 13	eqeltrid 2280	. . . 4 |- ( W e. V -> .x. e. _V )
15	14	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( W e. V /\ X e. K /\ Y e. B ) -> .x. e. _V )
16		ovexg 5952	. . 3 |- ( ( X e. K /\ .x. e. _V /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. _V )
17	10, 15, 11, 16	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( W e. V /\ X e. K /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. _V )
18	7, 9, 10, 11, 17	ovmpod 6046	1 |- ( ( W e. V /\ X e. K /\ Y e. B ) -> ( X .xb Y ) = ( X .x. Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920   Basecbs 12618  Scalarcsca 12698   .scvsca 12699   .sfcscaf 13784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-scaf 13786

This theorem is referenced by:  lmodfopne  13822