ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftcan1 GIF version

Theorem shftcan1 10599
Description: Cancellation law for the shift operation. (Contributed by NM, 4-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftcan1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹𝐵))

Proof of Theorem shftcan1
StepHypRef Expression
1 negcl 7955 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2 shftfval.1 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
322shfti 10596 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴) = (𝐹 shift (𝐴 + -𝐴)))
41, 3mpdan 417 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴) = (𝐹 shift (𝐴 + -𝐴)))
5 negid 8002 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
65oveq2d 5783 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + -𝐴)) = (𝐹 shift 0))
74, 6eqtrd 2170 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴) = (𝐹 shift 0))
87fveq1d 5416 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴)‘𝐵) = ((𝐹 shift 0)‘𝐵))
92shftidt 10598 . 2 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 0)‘𝐵) = (𝐹𝐵))
108, 9sylan9eq 2190 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2681  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611  0cc0 7613   + caddc 7616  -cneg 7927   shift cshi 10579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-neg 7929  df-shft 10580
This theorem is referenced by:  shftcan2  10600  climshft  11066
  Copyright terms: Public domain W3C validator