Theorem climshft 11325

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climshft	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Proof of Theorem climshft

Dummy variables f k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5895	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f shift M ) = ( F shift M ) )
2	1	breq1d 4025	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f shift M ) ~~> A <-> ( F shift M ) ~~> A ) )
3		breq1 4018	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f ~~> A <-> F ~~> A ) )
4	2, 3	bibi12d 235	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( ( f shift M ) ~~> A <-> f ~~> A ) <-> ( ( F shift M ) ~~> A <-> F ~~> A ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( f = F -> ( ( M e. ZZ -> ( ( f shift M ) ~~> A <-> f ~~> A ) ) <-> ( M e. ZZ -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> F ~~> A ) ) ) )
6		znegcl 9297	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> -u M e. ZZ )
7		vex 2752	. . . . . . 7 |- f e. _V
8		zcn 9271	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
9		ovshftex 10841	. . . . . . 7 |- ( ( f e. _V /\ M e. CC ) -> ( f shift M ) e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( f shift M ) e. _V )
11		climshftlemg 11323	. . . . . 6 |- ( ( -u M e. ZZ /\ ( f shift M ) e. _V ) -> ( ( f shift M ) ~~> A -> ( ( f shift M ) shift -u M ) ~~> A ) )
12	6, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( f shift M ) ~~> A -> ( ( f shift M ) shift -u M ) ~~> A ) )
13		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
14	8	negcld 8268	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> -u M e. CC )
15		ovshftex 10841	. . . . . . 7 |- ( ( ( f shift M ) e. _V /\ -u M e. CC ) -> ( ( f shift M ) shift -u M ) e. _V )
16	10, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( f shift M ) shift -u M ) e. _V )
17	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> f e. _V )
18		id 19	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
19		eluzelcn 9552	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. CC )
20	7	shftcan1 10856	. . . . . . 7 |- ( ( M e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( f shift M ) shift -u M ) ` k ) = ( f ` k ) )
21	8, 19, 20	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( f shift M ) shift -u M ) ` k ) = ( f ` k ) )
22	13, 16, 17, 18, 21	climeq 11320	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( f shift M ) shift -u M ) ~~> A <-> f ~~> A ) )
23	12, 22	sylibd 149	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( f shift M ) ~~> A -> f ~~> A ) )
24		climshftlemg 11323	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ f e. _V ) -> ( f ~~> A -> ( f shift M ) ~~> A ) )
25	7, 24	mpan2 425	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( f ~~> A -> ( f shift M ) ~~> A ) )
26	23, 25	impbid 129	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( f shift M ) ~~> A <-> f ~~> A ) )
27	5, 26	vtoclg 2809	. 2 |- ( F e. V -> ( M e. ZZ -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> F ~~> A ) ) )
28	27	impcom 125	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7822   -ucneg 8142   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541   shift cshi 10836   ~~> cli 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-shft 10837  df-clim 11300

This theorem is referenced by:  climshft2  11327  iser3shft  11367  eftlub  11711