Theorem climshft 11447

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climshft	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Proof of Theorem climshft

Dummy variables f k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5925	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f shift M ) = ( F shift M ) )
2	1	breq1d 4039	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f shift M ) ~~> A <-> ( F shift M ) ~~> A ) )
3		breq1 4032	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f ~~> A <-> F ~~> A ) )
4	2, 3	bibi12d 235	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( ( f shift M ) ~~> A <-> f ~~> A ) <-> ( ( F shift M ) ~~> A <-> F ~~> A ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( f = F -> ( ( M e. ZZ -> ( ( f shift M ) ~~> A <-> f ~~> A ) ) <-> ( M e. ZZ -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> F ~~> A ) ) ) )
6		znegcl 9348	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> -u M e. ZZ )
7		vex 2763	. . . . . . 7 |- f e. _V
8		zcn 9322	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
9		ovshftex 10963	. . . . . . 7 |- ( ( f e. _V /\ M e. CC ) -> ( f shift M ) e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( f shift M ) e. _V )
11		climshftlemg 11445	. . . . . 6 |- ( ( -u M e. ZZ /\ ( f shift M ) e. _V ) -> ( ( f shift M ) ~~> A -> ( ( f shift M ) shift -u M ) ~~> A ) )
12	6, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( f shift M ) ~~> A -> ( ( f shift M ) shift -u M ) ~~> A ) )
13		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
14	8	negcld 8317	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> -u M e. CC )
15		ovshftex 10963	. . . . . . 7 |- ( ( ( f shift M ) e. _V /\ -u M e. CC ) -> ( ( f shift M ) shift -u M ) e. _V )
16	10, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( f shift M ) shift -u M ) e. _V )
17	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> f e. _V )
18		id 19	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
19		eluzelcn 9603	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. CC )
20	7	shftcan1 10978	. . . . . . 7 |- ( ( M e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( f shift M ) shift -u M ) ` k ) = ( f ` k ) )
21	8, 19, 20	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( f shift M ) shift -u M ) ` k ) = ( f ` k ) )
22	13, 16, 17, 18, 21	climeq 11442	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( f shift M ) shift -u M ) ~~> A <-> f ~~> A ) )
23	12, 22	sylibd 149	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( f shift M ) ~~> A -> f ~~> A ) )
24		climshftlemg 11445	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ f e. _V ) -> ( f ~~> A -> ( f shift M ) ~~> A ) )
25	7, 24	mpan2 425	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( f ~~> A -> ( f shift M ) ~~> A ) )
26	23, 25	impbid 129	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( f shift M ) ~~> A <-> f ~~> A ) )
27	5, 26	vtoclg 2820	. 2 |- ( F e. V -> ( M e. ZZ -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> F ~~> A ) ) )
28	27	impcom 125	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   -ucneg 8191   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   shift cshi 10958   ~~> cli 11421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-shft 10959  df-clim 11422

This theorem is referenced by:  climshft2  11449  iser3shft  11489  eftlub  11833