ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftf GIF version

Theorem shftf 10630
Description: Functionality of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftf ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem shftf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5276 . . 3 (𝐹:𝐵𝐶𝐹 Fn 𝐵)
2 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
32shftfn 10624 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐵𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵})
41, 3sylan 281 . 2 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵})
5 oveq1 5785 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
65eleq1d 2209 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵))
76elrab 2841 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵))
8 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
102shftval 10625 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝐴)))
118, 9, 10syl2an 287 . . . . 5 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝐴)))
12 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐵𝐶)
13 simpr 109 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)
14 ffvelrn 5557 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶 ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦𝐴)) ∈ 𝐶)
1512, 13, 14syl2an 287 . . . . 5 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑦𝐴)) ∈ 𝐶)
1611, 15eqeltrd 2217 . . . 4 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
177, 16sylan2b 285 . . 3 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
1817ralrimiva 2506 . 2 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
19 ffnfv 5582 . 2 ((𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶 ↔ ((𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶))
204, 18, 19sylanbrc 414 1 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  {crab 2421  Vcvv 2687   Fn wfn 5122  wf 5123  cfv 5127  (class class class)co 5778  cc 7638  cmin 7953   shift cshi 10614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-sub 7955  df-shft 10615
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator