ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval4g GIF version

Theorem shftval4g 10981
Description: Value of a sequence shifted by -𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
shftval4g ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem shftval4g
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5925 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift -𝐴) = (𝐹 shift -𝐴))
21fveq1d 5556 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵))
3 fveq1 5553 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))
42, 3eqeq12d 2208 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)) ↔ ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
54imbi2d 230 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))))
6 vex 2763 . . . 4 𝑓 ∈ V
76shftval4 10972 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)))
85, 7vtoclg 2820 . 2 (𝐹𝑉 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
983impib 1203 1 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2164  cfv 5254  (class class class)co 5918  cc 7870   + caddc 7875  -cneg 8191   shift cshi 10958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-neg 8193  df-shft 10959
This theorem is referenced by:  climshft2  11449
  Copyright terms: Public domain W3C validator