Theorem shftval4g 11148

Description: Value of a sequence shifted by -𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
shftval4g	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem shftval4g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5951	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift -𝐴) = (𝐹 shift -𝐴))
2	1	fveq1d 5578	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵))
3		fveq1 5575	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))
4	2, 3	eqeq12d 2220	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)) ↔ ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
5	4	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))))
6		vex 2775	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
7	6	shftval4 11139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)))
8	5, 7	vtoclg 2833	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
9	8	3impib 1204	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  ℂcc 7923   + caddc 7928  -cneg 8244   shift cshi 11125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-neg 8246  df-shft 11126

This theorem is referenced by:  climshft2  11617