Theorem shftval4g 11580

Description: Value of a sequence shifted by -𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
shftval4g	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem shftval4g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6082	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift -𝐴) = (𝐹 shift -𝐴))
2	1	fveq1d 5692	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵))
3		fveq1 5689	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))
4	2, 3	eqeq12d 2253	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)) ↔ ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
5	4	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))))
6		vex 2824	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
7	6	shftval4 11571	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)))
8	5, 7	vtoclg 2883	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
9	8	3impib 1232	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167   + caddc 8172  -cneg 8488   shift cshi 11557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-neg 8490  df-shft 11558

This theorem is referenced by:  climshft2  12050