ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval4g GIF version

Theorem shftval4g 10639
Description: Value of a sequence shifted by -𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
shftval4g ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem shftval4g
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5787 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift -𝐴) = (𝐹 shift -𝐴))
21fveq1d 5429 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵))
3 fveq1 5426 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))
42, 3eqeq12d 2155 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)) ↔ ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
54imbi2d 229 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))))
6 vex 2692 . . . 4 𝑓 ∈ V
76shftval4 10630 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝑓‘(𝐴 + 𝐵)))
85, 7vtoclg 2749 . 2 (𝐹𝑉 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
983impib 1180 1 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963   = wceq 1332  wcel 1481  cfv 5129  (class class class)co 5780  cc 7640   + caddc 7645  -cneg 7956   shift cshi 10616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4049  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-addcom 7742  ax-addass 7744  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-cnre 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-sub 7957  df-neg 7958  df-shft 10617
This theorem is referenced by:  climshft2  11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator