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Theorem seq3shft 10550
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3shft.ex  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
seq3shft.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
seq3shft.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
seq3shft.fn  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seq3shft.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seq3shft  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )
Distinct variable groups:    x, F, y   
x, M, y    x, N, y    x,  .+ , y    x, S, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem seq3shft
Dummy variables  a  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2115 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 seq3shft.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 seq3shft.ex . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
43adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  F  e.  V )
5 seq3shft.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
65zcnd 9125 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
76adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  CC )
8 eluzelz 9284 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  x  e.  ZZ )
98adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ZZ )
109zcnd 9125 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  CC )
11 shftvalg 10548 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  V  /\  N  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( F  shift  N ) `
 x )  =  ( F `  (
x  -  N ) ) )
124, 7, 10, 11syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F  shift  N ) `  x )  =  ( F `  ( x  -  N ) ) )
13 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( x  -  N )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( x  -  N
) ) )
1413eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( x  -  N )  ->  (
( F `  a
)  e.  S  <->  ( F `  ( x  -  N
) )  e.  S
) )
15 seq3shft.fn . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
1615ralrimiva 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) ( F `  x )  e.  S )
17 fveq2 5387 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  x )  =  ( F `  a ) )
1817eleq1d 2184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  a )  e.  S
) )
1918cbvralv 2629 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) ( F `
 x )  e.  S  <->  A. a  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) ( F `  a )  e.  S )
2016, 19sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) ( F `  a )  e.  S )
2120adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. a  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N ) ) ( F `  a )  e.  S )
222, 5zsubcld 9129 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
2322adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( M  -  N )  e.  ZZ )
245adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
259, 24zsubcld 9129 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( x  -  N )  e.  ZZ )
262zred 9124 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
2726adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  RR )
289zred 9124 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  RR )
2924zred 9124 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  RR )
30 eluzle 9287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  x )
3130adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  <_  x )
3227, 28, 29, 31lesub1dd 8286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( M  -  N )  <_  (
x  -  N ) )
33 eluz2 9281 . . . . . . 7  |-  ( ( x  -  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N )
)  <->  ( ( M  -  N )  e.  ZZ  /\  ( x  -  N )  e.  ZZ  /\  ( M  -  N )  <_ 
( x  -  N
) ) )
3423, 25, 32, 33syl3anbrc 1148 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) )
3514, 21, 34rspcdva 2766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  ( x  -  N
) )  e.  S
)
3612, 35eqeltrd 2192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F  shift  N ) `  x )  e.  S
)
37 seq3shft.pl . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
381, 2, 36, 37seqf 10174 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  ( F  shift  N ) ) : (
ZZ>= `  M ) --> S )
3938ffnd 5241 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
40 eqid 2115 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) )  =  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) )
4140, 22, 15, 37seqf 10174 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F ) : (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) --> S )
4241ffnd 5241 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) ) )
43 seqex 10160 . . . . 5  |-  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  e.  _V
4443shftfn 10536 . . . 4  |-  ( (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) )  /\  N  e.  CC )  ->  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
4542, 6, 44syl2anc 406 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
46 shftuz 10529 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  -  N
)  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
475, 22, 46syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
482zcnd 9125 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
4948, 6npcand 8041 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  N )  +  N
)  =  M )
5049fveq2d 5391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  -  N )  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
5147, 50eqtrd 2148 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  M
) )
5251fneq2d 5182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N )  Fn 
{ x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  <-> 
(  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N )  Fn  ( ZZ>= `  M
) ) )
5345, 52mpbid 146 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
5448, 6negsubd 8043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
5554adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N
) )
5655seqeq1d 10164 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  seq ( M  +  -u N ) (  .+  ,  F
)  =  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
) )
57 eluzelcn 9286 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  CC )
5857adantl 273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  z  e.  CC )
596adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  CC )
6058, 59negsubd 8043 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( z  +  -u N )  =  ( z  -  N
) )
6156, 60fveq12d 5394 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq ( M  +  -u N
) (  .+  ,  F ) `  (
z  +  -u N
) )  =  (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F ) `  (
z  -  N ) ) )
62 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)
635adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
6463znegcld 9126 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  -u N  e.  ZZ )
653ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  F  e.  V )
6659adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  N  e.  CC )
67 elfzelz 9746 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M ... z )  ->  y  e.  ZZ )
6867adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  y  e.  ZZ )
6968zcnd 9125 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  y  e.  CC )
70 shftvalg 10548 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  V  /\  N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( F  shift  N ) `
 y )  =  ( F `  (
y  -  N ) ) )
7165, 66, 69, 70syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  -  N ) ) )
7269, 66negsubd 8043 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  ( y  +  -u N )  =  ( y  -  N
) )
7372fveq2d 5391 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  ( F `  ( y  +  -u N ) )  =  ( F `  (
y  -  N ) ) )
7471, 73eqtr4d 2151 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
7536adantlr 466 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F  shift  N ) `  x )  e.  S
)
76 simpll 501 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  -u N ) ) )  ->  ph )
77 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  -u N ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  -u N ) ) )
7854fveq2d 5391 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  -u N ) )  =  ( ZZ>= `  ( M  -  N )
) )
7978eleq2d 2185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  -u N ) )  <->  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N ) ) ) )
8079ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  -u N ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  -u N ) )  <-> 
x  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) ) )
8177, 80mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  -u N ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N ) ) )
8276, 81, 15syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  -u N ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8337adantlr 466 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8462, 64, 74, 75, 82, 83seq3shft2 10186 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M (  .+  , 
( F  shift  N ) ) `  z )  =  (  seq ( M  +  -u N ) (  .+  ,  F
) `  ( z  +  -u N ) ) )
85 shftvalg 10548 . . . 4  |-  ( (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  e.  _V  /\  N  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( (  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N ) `  z )  =  (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F ) `  (
z  -  N ) ) )
8643, 59, 58, 85mp3an2i 1303 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (  seq ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  shift  N ) `
 z )  =  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( z  -  N ) ) )
8761, 84, 863eqtr4d 2158 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M (  .+  , 
( F  shift  N ) ) `  z )  =  ( (  seq ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  shift  N ) `
 z ) )
8839, 53, 87eqfnfvd 5487 1  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   {crab 2395   _Vcvv 2658   class class class wbr 3897    Fn wfn 5086   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583    + caddc 7587    <_ cle 7765    - cmin 7897   -ucneg 7898   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275   ...cfz 9730    seqcseq 10158    shift cshi 10526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-seqfrec 10159  df-shft 10527
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