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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > seq3shft | Unicode version |
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.) |
Ref | Expression |
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seq3shft.ex |
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seq3shft.m |
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seq3shft.n |
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seq3shft.fn |
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seq3shft.pl |
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Ref | Expression |
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seq3shft |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2177 |
. . . 4
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2 | seq3shft.m |
. . . 4
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3 | seq3shft.ex |
. . . . . . 7
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4 | 3 | adantr 276 |
. . . . . 6
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5 | seq3shft.n |
. . . . . . . 8
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6 | 5 | zcnd 9378 |
. . . . . . 7
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7 | 6 | adantr 276 |
. . . . . 6
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8 | eluzelz 9539 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | zcnd 9378 |
. . . . . 6
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11 | shftvalg 10847 |
. . . . . 6
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12 | 4, 7, 10, 11 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
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13 | fveq2 5517 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | eleq1d 2246 |
. . . . . 6
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15 | seq3shft.fn |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . 8
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17 | fveq2 5517 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 17 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | cbvralv 2705 |
. . . . . . . 8
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20 | 16, 19 | sylib 122 |
. . . . . . 7
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21 | 20 | adantr 276 |
. . . . . 6
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22 | 2, 5 | zsubcld 9382 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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24 | 5 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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25 | 9, 24 | zsubcld 9382 |
. . . . . . 7
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26 | 2 | zred 9377 |
. . . . . . . . 9
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27 | 26 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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28 | 9 | zred 9377 |
. . . . . . . 8
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29 | 24 | zred 9377 |
. . . . . . . 8
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30 | eluzle 9542 |
. . . . . . . . 9
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31 | 30 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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32 | 27, 28, 29, 31 | lesub1dd 8520 |
. . . . . . 7
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33 | eluz2 9536 |
. . . . . . 7
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34 | 23, 25, 32, 33 | syl3anbrc 1181 |
. . . . . 6
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35 | 14, 21, 34 | rspcdva 2848 |
. . . . 5
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36 | 12, 35 | eqeltrd 2254 |
. . . 4
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37 | seq3shft.pl |
. . . 4
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38 | 1, 2, 36, 37 | seqf 10463 |
. . 3
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39 | 38 | ffnd 5368 |
. 2
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40 | eqid 2177 |
. . . . . 6
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41 | 40, 22, 15, 37 | seqf 10463 |
. . . . 5
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42 | 41 | ffnd 5368 |
. . . 4
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43 | seqex 10449 |
. . . . 5
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44 | 43 | shftfn 10835 |
. . . 4
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45 | 42, 6, 44 | syl2anc 411 |
. . 3
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46 | shftuz 10828 |
. . . . . 6
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47 | 5, 22, 46 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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48 | 2 | zcnd 9378 |
. . . . . . 7
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49 | 48, 6 | npcand 8274 |
. . . . . 6
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50 | 49 | fveq2d 5521 |
. . . . 5
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51 | 47, 50 | eqtrd 2210 |
. . . 4
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52 | 51 | fneq2d 5309 |
. . 3
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53 | 45, 52 | mpbid 147 |
. 2
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54 | 48, 6 | negsubd 8276 |
. . . . . 6
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55 | 54 | adantr 276 |
. . . . 5
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56 | 55 | seqeq1d 10453 |
. . . 4
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57 | eluzelcn 9541 |
. . . . . 6
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58 | 57 | adantl 277 |
. . . . 5
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59 | 6 | adantr 276 |
. . . . 5
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60 | 58, 59 | negsubd 8276 |
. . . 4
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61 | 56, 60 | fveq12d 5524 |
. . 3
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62 | simpr 110 |
. . . 4
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63 | 5 | adantr 276 |
. . . . 5
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64 | 63 | znegcld 9379 |
. . . 4
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65 | 3 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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66 | 59 | adantr 276 |
. . . . . 6
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67 | elfzelz 10027 |
. . . . . . . 8
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68 | 67 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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69 | 68 | zcnd 9378 |
. . . . . 6
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70 | shftvalg 10847 |
. . . . . 6
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71 | 65, 66, 69, 70 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
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72 | 69, 66 | negsubd 8276 |
. . . . . 6
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73 | 72 | fveq2d 5521 |
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74 | 71, 73 | eqtr4d 2213 |
. . . 4
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75 | 36 | adantlr 477 |
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76 | simpll 527 |
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77 | simpr 110 |
. . . . . 6
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78 | 54 | fveq2d 5521 |
. . . . . . . 8
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79 | 78 | eleq2d 2247 |
. . . . . . 7
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80 | 79 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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81 | 77, 80 | mpbid 147 |
. . . . 5
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82 | 76, 81, 15 | syl2anc 411 |
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83 | 37 | adantlr 477 |
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84 | 62, 64, 74, 75, 82, 83 | seq3shft2 10475 |
. . 3
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85 | shftvalg 10847 |
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86 | 43, 59, 58, 85 | mp3an2i 1342 |
. . 3
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87 | 61, 84, 86 | 3eqtr4d 2220 |
. 2
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88 | 39, 53, 87 | eqfnfvd 5618 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-addcom 7913 ax-addass 7915 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-ltadd 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-frec 6394 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-inn 8922 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-fz 10011 df-seqfrec 10448 df-shft 10826 |
This theorem is referenced by: iser3shft 11356 eftlub 11700 |
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