Theorem seq3shft 10642

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3shft.ex	|- ( ph -> F e. V )
seq3shft.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3shft.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
seq3shft.fn	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3shft.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3shft	|- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, .+ , y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem seq3shft

Dummy variables a z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2140	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		seq3shft.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		seq3shft.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. V )
4	3	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F e. V )
5		seq3shft.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
6	5	zcnd 9198	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
7	6	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
8		eluzelz 9359	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
9	8	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
10	9	zcnd 9198	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. CC )
11		shftvalg 10640	. . . . . 6 |- ( ( F e. V /\ N e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( F shift N ) ` x ) = ( F ` ( x - N ) ) )
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) = ( F ` ( x - N ) ) )
13		fveq2 5429	. . . . . . 7 |- ( a = ( x - N ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( x - N ) ) )
14	13	eleq1d 2209	. . . . . 6 |- ( a = ( x - N ) -> ( ( F ` a ) e. S <-> ( F ` ( x - N ) ) e. S ) )
15		seq3shft.fn	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
16	15	ralrimiva 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` x ) e. S )
17		fveq2 5429	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
18	17	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` a ) e. S ) )
19	18	cbvralv 2657	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
20	16, 19	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
21	20	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
22	2, 5	zsubcld 9202	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M - N ) e. ZZ )
23	22	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M - N ) e. ZZ )
24	5	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
25	9, 24	zsubcld 9202	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - N ) e. ZZ )
26	2	zred 9197	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
27	26	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
28	9	zred 9197	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. RR )
29	24	zred 9197	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. RR )
30		eluzle 9362	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
31	30	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ x )
32	27, 28, 29, 31	lesub1dd 8347	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M - N ) <_ ( x - N ) )
33		eluz2 9356	. . . . . . 7 |- ( ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) <-> ( ( M - N ) e. ZZ /\ ( x - N ) e. ZZ /\ ( M - N ) <_ ( x - N ) ) )
34	23, 25, 32, 33	syl3anbrc 1166	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
35	14, 21, 34	rspcdva 2798	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( x - N ) ) e. S )
36	12, 35	eqeltrd 2217	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) e. S )
37		seq3shft.pl	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
38	1, 2, 36, 37	seqf 10265	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
39	38	ffnd 5281	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
40		eqid 2140	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( M - N ) ) = ( ZZ>= ` ( M - N ) )
41	40, 22, 15, 37	seqf 10265	. . . . 5 |- ( ph -> seq ( M - N ) ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` ( M - N ) ) --> S )
42	41	ffnd 5281	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M - N ) ( .+ , F ) Fn ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
43		seqex 10251	. . . . 5 |- seq ( M - N ) ( .+ , F ) e. _V
44	43	shftfn 10628	. . . 4 |- ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) Fn ( ZZ>= ` ( M - N ) ) /\ N e. CC ) -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } )
45	42, 6, 44	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } )
46		shftuz 10621	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M - N ) e. ZZ ) -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) )
47	5, 22, 46	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) )
48	2	zcnd 9198	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
49	48, 6	npcand 8101	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M - N ) + N ) = M )
50	49	fveq2d 5433	. . . . 5 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
51	47, 50	eqtrd 2173	. . . 4 |- ( ph -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` M ) )
52	51	fneq2d 5222	. . 3 |- ( ph -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } <-> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn ( ZZ>= ` M ) ) )
53	45, 52	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
54	48, 6	negsubd 8103	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
55	54	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
56	55	seqeq1d 10255	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) = seq ( M - N ) ( .+ , F ) )
57		eluzelcn 9361	. . . . . 6 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) -> z e. CC )
58	57	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> z e. CC )
59	6	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
60	58, 59	negsubd 8103	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( z + -u N ) = ( z - N ) )
61	56, 60	fveq12d 5436	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) ` ( z + -u N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
62		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> z e. ( ZZ>= ` M ) )
63	5	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
64	63	znegcld 9199	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -u N e. ZZ )
65	3	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> F e. V )
66	59	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> N e. CC )
67		elfzelz 9837	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M ... z ) -> y e. ZZ )
68	67	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> y e. ZZ )
69	68	zcnd 9198	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> y e. CC )
70		shftvalg 10640	. . . . . 6 |- ( ( F e. V /\ N e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y - N ) ) )
71	65, 66, 69, 70	syl3anc 1217	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y - N ) ) )
72	69, 66	negsubd 8103	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( y + -u N ) = ( y - N ) )
73	72	fveq2d 5433	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( F ` ( y + -u N ) ) = ( F ` ( y - N ) ) )
74	71, 73	eqtr4d 2176	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y + -u N ) ) )
75	36	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) e. S )
76		simpll 519	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ph )
77		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) )
78	54	fveq2d 5433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) = ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
79	78	eleq2d 2210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) )
80	79	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) )
81	77, 80	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
82	76, 81, 15	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
83	37	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
84	62, 64, 74, 75, 82, 83	seq3shft2 10277	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , ( F shift N ) ) ` z ) = ( seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) ` ( z + -u N ) ) )
85		shftvalg 10640	. . . 4 |- ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) e. _V /\ N e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
86	43, 59, 58, 85	mp3an2i 1321	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
87	61, 84, 86	3eqtr4d 2183	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , ( F shift N ) ) ` z ) = ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) )
88	39, 53, 87	eqfnfvd 5529	1 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   {crab 2421   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   Fn wfn 5126   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   + caddc 7647   <_ cle 7825   - cmin 7957   -ucneg 7958   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   seqcseq 10249   shift cshi 10618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-seqfrec 10250  df-shft 10619

This theorem is referenced by:  iser3shft  11147  eftlub  11433