Theorem seq3shft 10802

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3shft.ex	|- ( ph -> F e. V )
seq3shft.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3shft.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
seq3shft.fn	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3shft.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3shft	|- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, .+ , y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem seq3shft

Dummy variables a z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2170	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		seq3shft.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		seq3shft.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. V )
4	3	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F e. V )
5		seq3shft.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
6	5	zcnd 9335	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
7	6	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
8		eluzelz 9496	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
9	8	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
10	9	zcnd 9335	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. CC )
11		shftvalg 10800	. . . . . 6 |- ( ( F e. V /\ N e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( F shift N ) ` x ) = ( F ` ( x - N ) ) )
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) = ( F ` ( x - N ) ) )
13		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( a = ( x - N ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( x - N ) ) )
14	13	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( a = ( x - N ) -> ( ( F ` a ) e. S <-> ( F ` ( x - N ) ) e. S ) )
15		seq3shft.fn	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
16	15	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` x ) e. S )
17		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
18	17	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` a ) e. S ) )
19	18	cbvralv 2696	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
20	16, 19	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
21	20	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
22	2, 5	zsubcld 9339	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M - N ) e. ZZ )
23	22	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M - N ) e. ZZ )
24	5	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
25	9, 24	zsubcld 9339	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - N ) e. ZZ )
26	2	zred 9334	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
27	26	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
28	9	zred 9334	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. RR )
29	24	zred 9334	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. RR )
30		eluzle 9499	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
31	30	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ x )
32	27, 28, 29, 31	lesub1dd 8480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M - N ) <_ ( x - N ) )
33		eluz2 9493	. . . . . . 7 |- ( ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) <-> ( ( M - N ) e. ZZ /\ ( x - N ) e. ZZ /\ ( M - N ) <_ ( x - N ) ) )
34	23, 25, 32, 33	syl3anbrc 1176	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
35	14, 21, 34	rspcdva 2839	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( x - N ) ) e. S )
36	12, 35	eqeltrd 2247	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) e. S )
37		seq3shft.pl	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
38	1, 2, 36, 37	seqf 10417	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
39	38	ffnd 5348	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
40		eqid 2170	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( M - N ) ) = ( ZZ>= ` ( M - N ) )
41	40, 22, 15, 37	seqf 10417	. . . . 5 |- ( ph -> seq ( M - N ) ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` ( M - N ) ) --> S )
42	41	ffnd 5348	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M - N ) ( .+ , F ) Fn ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
43		seqex 10403	. . . . 5 |- seq ( M - N ) ( .+ , F ) e. _V
44	43	shftfn 10788	. . . 4 |- ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) Fn ( ZZ>= ` ( M - N ) ) /\ N e. CC ) -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } )
45	42, 6, 44	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } )
46		shftuz 10781	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M - N ) e. ZZ ) -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) )
47	5, 22, 46	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) )
48	2	zcnd 9335	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
49	48, 6	npcand 8234	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M - N ) + N ) = M )
50	49	fveq2d 5500	. . . . 5 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
51	47, 50	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( ph -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` M ) )
52	51	fneq2d 5289	. . 3 |- ( ph -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } <-> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn ( ZZ>= ` M ) ) )
53	45, 52	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
54	48, 6	negsubd 8236	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
55	54	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
56	55	seqeq1d 10407	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) = seq ( M - N ) ( .+ , F ) )
57		eluzelcn 9498	. . . . . 6 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) -> z e. CC )
58	57	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> z e. CC )
59	6	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
60	58, 59	negsubd 8236	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( z + -u N ) = ( z - N ) )
61	56, 60	fveq12d 5503	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) ` ( z + -u N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
62		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> z e. ( ZZ>= ` M ) )
63	5	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
64	63	znegcld 9336	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -u N e. ZZ )
65	3	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> F e. V )
66	59	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> N e. CC )
67		elfzelz 9981	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M ... z ) -> y e. ZZ )
68	67	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> y e. ZZ )
69	68	zcnd 9335	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> y e. CC )
70		shftvalg 10800	. . . . . 6 |- ( ( F e. V /\ N e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y - N ) ) )
71	65, 66, 69, 70	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y - N ) ) )
72	69, 66	negsubd 8236	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( y + -u N ) = ( y - N ) )
73	72	fveq2d 5500	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( F ` ( y + -u N ) ) = ( F ` ( y - N ) ) )
74	71, 73	eqtr4d 2206	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y + -u N ) ) )
75	36	adantlr 474	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) e. S )
76		simpll 524	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ph )
77		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) )
78	54	fveq2d 5500	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) = ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
79	78	eleq2d 2240	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) )
80	79	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) )
81	77, 80	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
82	76, 81, 15	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
83	37	adantlr 474	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
84	62, 64, 74, 75, 82, 83	seq3shft2 10429	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , ( F shift N ) ) ` z ) = ( seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) ` ( z + -u N ) ) )
85		shftvalg 10800	. . . 4 |- ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) e. _V /\ N e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
86	43, 59, 58, 85	mp3an2i 1337	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
87	61, 84, 86	3eqtr4d 2213	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , ( F shift N ) ) ` z ) = ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) )
88	39, 53, 87	eqfnfvd 5596	1 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   _Vcvv 2730   class class class wbr 3989   Fn wfn 5193   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   + caddc 7777   <_ cle 7955   - cmin 8090   -ucneg 8091   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965   seqcseq 10401   shift cshi 10778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-seqfrec 10402  df-shft 10779

This theorem is referenced by:  iser3shft  11309  eftlub  11653