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Theorem seq3shft 11603
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3shft.ex |- ( ph -> F e. V )
seq3shft.m |- ( ph -> M e. ZZ )
seq3shft.n |- ( ph -> N e. ZZ )
seq3shft.fn |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3shft.pl |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
Assertion
Ref Expression
seq3shft |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) )
Distinct variable groups:   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, .+ , y   x, S, y   ph, x, y
Allowed substitution hints:   V( x, y)
Proof of Theorem seq3shft
Dummy variables a z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2238 . . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2 seq3shft.m . . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3 seq3shft.ex . . . . . . 7 |- ( ph -> F e. V )
43adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F e. V )
5 seq3shft.n . . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
65zcnd 9769 . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
76adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
8 eluzelz 9931 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
98adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
109zcnd 9769 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. CC )
11 shftvalg 11601 . . . . . 6 |- ( ( F e. V /\ N e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( F shift N ) ` x ) = ( F ` ( x - N ) ) )
124, 7, 10, 11syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) = ( F ` ( x - N ) ) )
13 fveq2 5695 . . . . . . 7 |- ( a = ( x - N ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( x - N ) ) )
1413eleq1d 2307 . . . . . 6 |- ( a = ( x - N ) -> ( ( F ` a ) e. S <-> ( F ` ( x - N ) ) e. S ) )
15 seq3shft.fn . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
1615ralrimiva 2623 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` x ) e. S )
17 fveq2 5695 . . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
1817eleq1d 2307 . . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` a ) e. S ) )
1918cbvralv 2786 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
2016, 19sylib 122 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
2120adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
222, 5zsubcld 9773 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M - N ) e. ZZ )
2322adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M - N ) e. ZZ )
245adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
259, 24zsubcld 9773 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - N ) e. ZZ )
262zred 9768 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
2726adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
289zred 9768 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. RR )
2924zred 9768 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. RR )
30 eluzle 9934 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
3130adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ x )
3227, 28, 29, 31lesub1dd 8889 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M - N ) <_ ( x - N ) )
33 eluz2 9927 . . . . . . 7 |- ( ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) <-> ( ( M - N ) e. ZZ /\ ( x - N ) e. ZZ /\ ( M - N ) <_ ( x - N ) ) )
3423, 25, 32, 33syl3anbrc 1212 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
3514, 21, 34rspcdva 2934 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( x - N ) ) e. S )
3612, 35eqeltrd 2315 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) e. S )
37 seq3shft.pl . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
381, 2, 36, 37seqf 10901 . . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
3938ffnd 5534 . 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
40 eqid 2238 . . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( M - N ) ) = ( ZZ>= ` ( M - N ) )
4140, 22, 15, 37seqf 10901 . . . . 5 |- ( ph -> seq ( M - N ) ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` ( M - N ) ) --> S )
4241ffnd 5534 . . . 4 |- ( ph -> seq ( M - N ) ( .+ , F ) Fn ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
43 seqex 10886 . . . . 5 |- seq ( M - N ) ( .+ , F ) e. _V
4443shftfn 11589 . . . 4 |- ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) Fn ( ZZ>= ` ( M - N ) ) /\ N e. CC ) -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } )
4542, 6, 44syl2anc 415 . . 3 |- ( ph -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } )
46 shftuz 11582 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M - N ) e. ZZ ) -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) )
475, 22, 46syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) )
482zcnd 9769 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
4948, 6npcand 8641 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M - N ) + N ) = M )
5049fveq2d 5699 . . . . 5 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
5147, 50eqtrd 2271 . . . 4 |- ( ph -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` M ) )
5251fneq2d 5472 . . 3 |- ( ph -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } <-> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn ( ZZ>= ` M ) ) )
5345, 52mpbid 147 . 2 |- ( ph -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
5448, 6negsubd 8643 . . . . . 6 |- ( ph -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
5554adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
5655seqeq1d 10890 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) = seq ( M - N ) ( .+ , F ) )
57 eluzelcn 9933 . . . . . 6 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) -> z e. CC )
5857adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> z e. CC )
596adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
6058, 59negsubd 8643 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( z + -u N ) = ( z - N ) )
6156, 60fveq12d 5702 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) ` ( z + -u N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
62 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> z e. ( ZZ>= ` M ) )
635adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
6463znegcld 9770 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -u N e. ZZ )
653ad2antrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> F e. V )
6659adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> N e. CC )
67 elfzelz 10428 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( M ... z ) -> y e. ZZ )
6867adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> y e. ZZ )
6968zcnd 9769 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> y e. CC )
70 shftvalg 11601 . . . . . 6 |- ( ( F e. V /\ N e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y - N ) ) )
7165, 66, 69, 70syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y - N ) ) )
7269, 66negsubd 8643 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( y + -u N ) = ( y - N ) )
7372fveq2d 5699 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( F ` ( y + -u N ) ) = ( F ` ( y - N ) ) )
7471, 73eqtr4d 2274 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y + -u N ) ) )
7536adantlr 481 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) e. S )
76 simpll 531 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ph )
77 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) )
7854fveq2d 5699 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) = ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
7978eleq2d 2308 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) )
8079ad2antrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) )
8177, 80mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
8276, 81, 15syl2anc 415 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8337adantlr 481 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
8462, 64, 74, 75, 82, 83seq3shft2 10918 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , ( F shift N ) ) ` z ) = ( seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) ` ( z + -u N ) ) )
85 shftvalg 11601 . . . 4 |- ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) e. _V /\ N e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
8643, 59, 58, 85mp3an2i 1383 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
8761, 84, 863eqtr4d 2281 . 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , ( F shift N ) ) ` z ) = ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) )
8839, 53, 87eqfnfvd 5809 1 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   class class class wbr 4130   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   + caddc 8182   <_ cle 8361   - cmin 8497   -ucneg 8498   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411   seqcseq 10884   shift cshi 11579
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-shft 11580
This theorem is used by:  iser3shft  12112  eftlub  12457
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