Theorem seq3shft 10985

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3shft.ex	|- ( ph -> F e. V )
seq3shft.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3shft.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
seq3shft.fn	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3shft.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3shft	|- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, .+ , y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem seq3shft

Dummy variables a z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		seq3shft.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		seq3shft.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. V )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F e. V )
5		seq3shft.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
6	5	zcnd 9443	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
8		eluzelz 9604	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
9	8	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
10	9	zcnd 9443	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. CC )
11		shftvalg 10983	. . . . . 6 |- ( ( F e. V /\ N e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( F shift N ) ` x ) = ( F ` ( x - N ) ) )
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) = ( F ` ( x - N ) ) )
13		fveq2 5555	. . . . . . 7 |- ( a = ( x - N ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( x - N ) ) )
14	13	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( a = ( x - N ) -> ( ( F ` a ) e. S <-> ( F ` ( x - N ) ) e. S ) )
15		seq3shft.fn	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
16	15	ralrimiva 2567	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` x ) e. S )
17		fveq2 5555	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
18	17	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` a ) e. S ) )
19	18	cbvralv 2726	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
20	16, 19	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
21	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ( F ` a ) e. S )
22	2, 5	zsubcld 9447	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M - N ) e. ZZ )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M - N ) e. ZZ )
24	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
25	9, 24	zsubcld 9447	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - N ) e. ZZ )
26	2	zred 9442	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
28	9	zred 9442	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. RR )
29	24	zred 9442	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. RR )
30		eluzle 9607	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ x )
32	27, 28, 29, 31	lesub1dd 8582	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M - N ) <_ ( x - N ) )
33		eluz2 9601	. . . . . . 7 |- ( ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) <-> ( ( M - N ) e. ZZ /\ ( x - N ) e. ZZ /\ ( M - N ) <_ ( x - N ) ) )
34	23, 25, 32, 33	syl3anbrc 1183	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
35	14, 21, 34	rspcdva 2870	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( x - N ) ) e. S )
36	12, 35	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) e. S )
37		seq3shft.pl	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
38	1, 2, 36, 37	seqf 10538	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
39	38	ffnd 5405	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
40		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( M - N ) ) = ( ZZ>= ` ( M - N ) )
41	40, 22, 15, 37	seqf 10538	. . . . 5 |- ( ph -> seq ( M - N ) ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` ( M - N ) ) --> S )
42	41	ffnd 5405	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M - N ) ( .+ , F ) Fn ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
43		seqex 10523	. . . . 5 |- seq ( M - N ) ( .+ , F ) e. _V
44	43	shftfn 10971	. . . 4 |- ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) Fn ( ZZ>= ` ( M - N ) ) /\ N e. CC ) -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } )
45	42, 6, 44	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } )
46		shftuz 10964	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M - N ) e. ZZ ) -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) )
47	5, 22, 46	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) )
48	2	zcnd 9443	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
49	48, 6	npcand 8336	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M - N ) + N ) = M )
50	49	fveq2d 5559	. . . . 5 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( M - N ) + N ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
51	47, 50	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ph -> { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } = ( ZZ>= ` M ) )
52	51	fneq2d 5346	. . 3 |- ( ph -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn { x e. CC | ( x - N ) e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) } <-> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn ( ZZ>= ` M ) ) )
53	45, 52	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
54	48, 6	negsubd 8338	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
55	54	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
56	55	seqeq1d 10527	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) = seq ( M - N ) ( .+ , F ) )
57		eluzelcn 9606	. . . . . 6 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) -> z e. CC )
58	57	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> z e. CC )
59	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
60	58, 59	negsubd 8338	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( z + -u N ) = ( z - N ) )
61	56, 60	fveq12d 5562	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) ` ( z + -u N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
62		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> z e. ( ZZ>= ` M ) )
63	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
64	63	znegcld 9444	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -u N e. ZZ )
65	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> F e. V )
66	59	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> N e. CC )
67		elfzelz 10094	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M ... z ) -> y e. ZZ )
68	67	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> y e. ZZ )
69	68	zcnd 9443	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> y e. CC )
70		shftvalg 10983	. . . . . 6 |- ( ( F e. V /\ N e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y - N ) ) )
71	65, 66, 69, 70	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y - N ) ) )
72	69, 66	negsubd 8338	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( y + -u N ) = ( y - N ) )
73	72	fveq2d 5559	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( F ` ( y + -u N ) ) = ( F ` ( y - N ) ) )
74	71, 73	eqtr4d 2229	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ y e. ( M ... z ) ) -> ( ( F shift N ) ` y ) = ( F ` ( y + -u N ) ) )
75	36	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F shift N ) ` x ) e. S )
76		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ph )
77		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) )
78	54	fveq2d 5559	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) = ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
79	78	eleq2d 2263	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) )
80	79	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) ) )
81	77, 80	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( M - N ) ) )
82	76, 81, 15	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + -u N ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
83	37	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
84	62, 64, 74, 75, 82, 83	seq3shft2 10555	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , ( F shift N ) ) ` z ) = ( seq ( M + -u N ) ( .+ , F ) ` ( z + -u N ) ) )
85		shftvalg 10983	. . . 4 |- ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) e. _V /\ N e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
86	43, 59, 58, 85	mp3an2i 1353	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) ` ( z - N ) ) )
87	61, 84, 86	3eqtr4d 2236	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , ( F shift N ) ) ` z ) = ( ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) ` z ) )
88	39, 53, 87	eqfnfvd 5659	1 |- ( ph -> seq M ( .+ , ( F shift N ) ) = ( seq ( M - N ) ( .+ , F ) shift N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   _Vcvv 2760   class class class wbr 4030   Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   + caddc 7877   <_ cle 8057   - cmin 8192   -ucneg 8193   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077   seqcseq 10521   shift cshi 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-seqfrec 10522  df-shft 10962

This theorem is referenced by:  iser3shft  11492  eftlub  11836