Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3shft Unicode version

Theorem seq3shft 10550
 Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3shft.ex
seq3shft.m
seq3shft.n
seq3shft.fn
seq3shft.pl
Assertion
Ref Expression
seq3shft
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   , ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem seq3shft
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2115 . . . 4
2 seq3shft.m . . . 4
3 seq3shft.ex . . . . . . 7
43adantr 272 . . . . . 6
5 seq3shft.n . . . . . . . 8
65zcnd 9125 . . . . . . 7
76adantr 272 . . . . . 6
8 eluzelz 9284 . . . . . . . 8
98adantl 273 . . . . . . 7
109zcnd 9125 . . . . . 6
11 shftvalg 10548 . . . . . 6
124, 7, 10, 11syl3anc 1199 . . . . 5
13 fveq2 5387 . . . . . . 7
1413eleq1d 2184 . . . . . 6
15 seq3shft.fn . . . . . . . . 9
1615ralrimiva 2480 . . . . . . . 8
17 fveq2 5387 . . . . . . . . . 10
1817eleq1d 2184 . . . . . . . . 9
1918cbvralv 2629 . . . . . . . 8
2016, 19sylib 121 . . . . . . 7
2120adantr 272 . . . . . 6
222, 5zsubcld 9129 . . . . . . . 8
2322adantr 272 . . . . . . 7
245adantr 272 . . . . . . . 8
259, 24zsubcld 9129 . . . . . . 7
262zred 9124 . . . . . . . . 9
2726adantr 272 . . . . . . . 8
289zred 9124 . . . . . . . 8
2924zred 9124 . . . . . . . 8
30 eluzle 9287 . . . . . . . . 9
3130adantl 273 . . . . . . . 8
3227, 28, 29, 31lesub1dd 8286 . . . . . . 7
33 eluz2 9281 . . . . . . 7
3423, 25, 32, 33syl3anbrc 1148 . . . . . 6
3514, 21, 34rspcdva 2766 . . . . 5
3612, 35eqeltrd 2192 . . . 4
37 seq3shft.pl . . . 4
381, 2, 36, 37seqf 10174 . . 3
3938ffnd 5241 . 2
40 eqid 2115 . . . . . 6
4140, 22, 15, 37seqf 10174 . . . . 5
4241ffnd 5241 . . . 4
43 seqex 10160 . . . . 5
4443shftfn 10536 . . . 4
4542, 6, 44syl2anc 406 . . 3
46 shftuz 10529 . . . . . 6
475, 22, 46syl2anc 406 . . . . 5
482zcnd 9125 . . . . . . 7
4948, 6npcand 8041 . . . . . 6
5049fveq2d 5391 . . . . 5
5147, 50eqtrd 2148 . . . 4
5251fneq2d 5182 . . 3
5345, 52mpbid 146 . 2
5448, 6negsubd 8043 . . . . . 6
5554adantr 272 . . . . 5
5655seqeq1d 10164 . . . 4
57 eluzelcn 9286 . . . . . 6
5857adantl 273 . . . . 5
596adantr 272 . . . . 5
6058, 59negsubd 8043 . . . 4
6156, 60fveq12d 5394 . . 3
62 simpr 109 . . . 4
635adantr 272 . . . . 5
6463znegcld 9126 . . . 4
653ad2antrr 477 . . . . . 6
6659adantr 272 . . . . . 6
67 elfzelz 9746 . . . . . . . 8
6867adantl 273 . . . . . . 7
6968zcnd 9125 . . . . . 6
70 shftvalg 10548 . . . . . 6
7165, 66, 69, 70syl3anc 1199 . . . . 5
7269, 66negsubd 8043 . . . . . 6
7372fveq2d 5391 . . . . 5
7471, 73eqtr4d 2151 . . . 4
7536adantlr 466 . . . 4
76 simpll 501 . . . . 5
77 simpr 109 . . . . . 6
7854fveq2d 5391 . . . . . . . 8
7978eleq2d 2185 . . . . . . 7
8079ad2antrr 477 . . . . . 6
8177, 80mpbid 146 . . . . 5
8276, 81, 15syl2anc 406 . . . 4
8337adantlr 466 . . . 4
8462, 64, 74, 75, 82, 83seq3shft2 10186 . . 3
85 shftvalg 10548 . . . 4
8643, 59, 58, 85mp3an2i 1303 . . 3
8761, 84, 863eqtr4d 2158 . 2
8839, 53, 87eqfnfvd 5487 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1314   wcel 1463  wral 2391  crab 2395  cvv 2658   class class class wbr 3897   wfn 5086  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583   caddc 7587   cle 7765   cmin 7897  cneg 7898  cz 9005  cuz 9275  cfz 9730   cseq 10158   cshi 10526 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-seqfrec 10159  df-shft 10527 This theorem is referenced by:  iser3shft  11055  eftlub  11295
 Copyright terms: Public domain W3C validator