Theorem sratopng 14013

Description: Topology component of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	|- ( ph -> A = ( (subringAlg ` W ) ` S ) )
srapart.s	|- ( ph -> S C_ ( Base ` W ) )
srapart.ex	|- ( ph -> W e. X )

Assertion

Ref	Expression
sratopng	|- ( ph -> ( TopOpen ` W ) = ( TopOpen ` A ) )

Proof of Theorem sratopng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. . 3 |- ( ph -> A = ( (subringAlg ` W ) ` S ) )
2		srapart.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ ( Base ` W ) )
3		srapart.ex	. . 3 |- ( ph -> W e. X )
4	1, 2, 3	srabaseg 14005	. 2 |- ( ph -> ( Base ` W ) = ( Base ` A ) )
5	1, 2, 3	sratsetg 14011	. 2 |- ( ph -> (TopSet ` W ) = (TopSet ` A ) )
6	1, 2, 3	sraex 14012	. 2 |- ( ph -> A e. _V )
7	4, 5, 3, 6	topnpropgd 12934	1 |- ( ph -> ( TopOpen ` W ) = ( TopOpen ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ` cfv 5259   Basecbs 12688   TopOpenctopn 12921  subringAlg csra 13999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-9 9058  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-iress 12696  df-mulr 12779  df-sca 12781  df-vsca 12782  df-ip 12783  df-tset 12784  df-rest 12922  df-topn 12923  df-sra 14001

This theorem is referenced by:  rlmtopng  14028