Theorem sradsg 13980

Description: Distance function of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	|- ( ph -> A = ( (subringAlg ` W ) ` S ) )
srapart.s	|- ( ph -> S C_ ( Base ` W ) )
srapart.ex	|- ( ph -> W e. X )

Assertion

Ref	Expression
sradsg	|- ( ph -> ( dist ` W ) = ( dist ` A ) )

Proof of Theorem sradsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 |- ( ph -> A = ( (subringAlg ` W ) ` S ) )
2		srapart.s	. 2 |- ( ph -> S C_ ( Base ` W ) )
3		srapart.ex	. 2 |- ( ph -> W e. X )
4		dsslid 12866	. 2 |- ( dist = Slot ( dist ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) e. NN )
5		slotsdnscsi 12872	. . . 4 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )
6	5	simp1i 1008	. . 3 |- ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
7	6	necomi 2452	. 2 |- (Scalar ` ndx ) =/= ( dist ` ndx )
8	5	simp2i 1009	. . 3 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
9	8	necomi 2452	. 2 |- ( .s ` ndx ) =/= ( dist ` ndx )
10	5	simp3i 1010	. . 3 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
11	10	necomi 2452	. 2 |- ( .i ` ndx ) =/= ( dist ` ndx )
12	1, 2, 3, 4, 7, 9, 11	sralemg 13970	1 |- ( ph -> ( dist ` W ) = ( dist ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   C_ wss 3157   ` cfv 5258   ndxcnx 12651   Basecbs 12654  Scalarcsca 12734   .scvsca 12735   .icip 12736   distcds 12740  subringAlg csra 13965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-5 9049  df-6 9050  df-7 9051  df-8 9052  df-9 9053  df-n0 9247  df-z 9324  df-dec 9455  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-sets 12661  df-iress 12662  df-mulr 12745  df-sca 12747  df-vsca 12748  df-ip 12749  df-ds 12753  df-sra 13967

This theorem is referenced by:  rlmdsg  13995