Theorem sratsetg 13925

Description: Topology component of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	|- ( ph -> A = ( (subringAlg ` W ) ` S ) )
srapart.s	|- ( ph -> S C_ ( Base ` W ) )
srapart.ex	|- ( ph -> W e. X )

Assertion

Ref	Expression
sratsetg	|- ( ph -> (TopSet ` W ) = (TopSet ` A ) )

Proof of Theorem sratsetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 |- ( ph -> A = ( (subringAlg ` W ) ` S ) )
2		srapart.s	. 2 |- ( ph -> S C_ ( Base ` W ) )
3		srapart.ex	. 2 |- ( ph -> W e. X )
4		tsetslid 12795	. 2 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
5		slotstnscsi 12802	. . . 4 |- ( (TopSet ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )
6	5	simp1i 1008	. . 3 |- (TopSet ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
7	6	necomi 2449	. 2 |- (Scalar ` ndx ) =/= (TopSet ` ndx )
8	5	simp2i 1009	. . 3 |- (TopSet ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
9	8	necomi 2449	. 2 |- ( .s ` ndx ) =/= (TopSet ` ndx )
10	5	simp3i 1010	. . 3 |- (TopSet ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
11	10	necomi 2449	. 2 |- ( .i ` ndx ) =/= (TopSet ` ndx )
12	1, 2, 3, 4, 7, 9, 11	sralemg 13918	1 |- ( ph -> (TopSet ` W ) = (TopSet ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   C_ wss 3153   ` cfv 5246   ndxcnx 12605   Basecbs 12608  Scalarcsca 12688   .scvsca 12689   .icip 12690  TopSetcts 12691  subringAlg csra 13913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-ltxr 8049  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-9 9038  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-iress 12616  df-mulr 12699  df-sca 12701  df-vsca 12702  df-ip 12703  df-tset 12704  df-sra 13915

This theorem is referenced by:  sratopng  13927