Theorem strle2g 12486

Description: Make a structure from a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I
strle2.j	|- I < J
strle2.k	|- J e. NN
strle2.b	|- B = J

Assertion

Ref	Expression
strle2g	|- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )

Proof of Theorem strle2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3583	. 2 |- { <. A , X >. , <. B , Y >. } = ( { <. A , X >. } u. { <. B , Y >. } )
2		strle1.i	. . . . 5 |- I e. NN
3		strle1.a	. . . . 5 |- A = I
4	2, 3	strle1g 12485	. . . 4 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )
5	4	adantr 274	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )
6		strle2.k	. . . . 5 |- J e. NN
7		strle2.b	. . . . 5 |- B = J
8	6, 7	strle1g 12485	. . . 4 |- ( Y e. W -> { <. B , Y >. } Struct <. J , J >. )
9	8	adantl 275	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. B , Y >. } Struct <. J , J >. )
10		strle2.j	. . . 4 |- I < J
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> I < J )
12	5, 9, 11	strleund 12483	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> ( { <. A , X >. } u. { <. B , Y >. } ) Struct <. I , J >. )
13	1, 12	eqbrtrid 4017	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   {csn 3576   {cpr 3577   <.cop 3579   class class class wbr 3982   < clt 7933   NNcn 8857   Struct cstr 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-struct 12396

This theorem is referenced by:  strle3g  12487  2strstrg  12495