Theorem strle2g 13155

Description: Make a structure from a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I
strle2.j	|- I < J
strle2.k	|- J e. NN
strle2.b	|- B = J

Assertion

Ref	Expression
strle2g	|- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )

Proof of Theorem strle2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3673	. 2 |- { <. A , X >. , <. B , Y >. } = ( { <. A , X >. } u. { <. B , Y >. } )
2		strle1.i	. . . . 5 |- I e. NN
3		strle1.a	. . . . 5 |- A = I
4	2, 3	strle1g 13154	. . . 4 |- ( X e. V -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. A , X >. } Struct <. I , I >. )
6		strle2.k	. . . . 5 |- J e. NN
7		strle2.b	. . . . 5 |- B = J
8	6, 7	strle1g 13154	. . . 4 |- ( Y e. W -> { <. B , Y >. } Struct <. J , J >. )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. B , Y >. } Struct <. J , J >. )
10		strle2.j	. . . 4 |- I < J
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> I < J )
12	5, 9, 11	strleund 13151	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> ( { <. A , X >. } u. { <. B , Y >. } ) Struct <. I , J >. )
13	1, 12	eqbrtrid 4118	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3195   {csn 3666   {cpr 3667   <.cop 3669   class class class wbr 4083   < clt 8192   NNcn 9121   Struct cstr 13043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-struct 13049

This theorem is referenced by:  strle3g  13156  2strstrndx  13166  2strstrg  13167  prdsvalstrd  13319