Theorem 2strstrg 13526

Description: A constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jan-2023.) Use 2strstrndx 13525 instead. (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( E ` ndx ) , .+ >. }
2str.e	|- E = Slot N
2str.l	|- 1 < N
2str.n	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
2strstrg	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. 1 , N >. )

Proof of Theorem 2strstrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str.g	. 2 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( E ` ndx ) , .+ >. }
2		1nn 9318	. . 3 |- 1 e. NN
3		basendx 13459	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
4		2str.l	. . 3 |- 1 < N
5		2str.n	. . 3 |- N e. NN
6		2str.e	. . . 4 |- E = Slot N
7	6, 5	ndxarg 13427	. . 3 |- ( E ` ndx ) = N
8	2, 3, 4, 5, 7	strle2g 13514	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( E ` ndx ) , .+ >. } Struct <. 1 , N >. )
9	1, 8	eqbrtrid 4165	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. 1 , N >. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   1c1 8181   < clt 8361   NNcn 9307   Struct cstr 13400   ndxcnx 13401  Slot cslot 13403   Basecbs 13404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410

This theorem is used by:  2strstr1g  13529  grpstrg  13533