Theorem strle3g 13338

Description: Make a structure from a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I
strle2.j	|- I < J
strle2.k	|- J e. NN
strle2.b	|- B = J
strle3.k	|- J < K
strle3.l	|- K e. NN
strle3.c	|- C = K

Assertion

Ref	Expression
strle3g	|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } Struct <. I , K >. )

Proof of Theorem strle3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3699	. 2 |- { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } = ( { <. A , X >. , <. B , Y >. } u. { <. C , Z >. } )
2		strle1.i	. . . . 5 |- I e. NN
3		strle1.a	. . . . 5 |- A = I
4		strle2.j	. . . . 5 |- I < J
5		strle2.k	. . . . 5 |- J e. NN
6		strle2.b	. . . . 5 |- B = J
7	2, 3, 4, 5, 6	strle2g 13337	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )
8	7	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )
9		strle3.l	. . . . 5 |- K e. NN
10		strle3.c	. . . . 5 |- C = K
11	9, 10	strle1g 13336	. . . 4 |- ( Z e. P -> { <. C , Z >. } Struct <. K , K >. )
12	11	3ad2ant3 1047	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. C , Z >. } Struct <. K , K >. )
13		strle3.k	. . . 4 |- J < K
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> J < K )
15	8, 12, 14	strleund 13333	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> ( { <. A , X >. , <. B , Y >. } u. { <. C , Z >. } ) Struct <. I , K >. )
16	1, 15	eqbrtrid 4146	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } Struct <. I , K >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   u. cun 3211   {csn 3691   {cpr 3692   {ctp 3693   <.cop 3694   class class class wbr 4111   < clt 8310   NNcn 9239   Struct cstr 13225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-struct 13231

This theorem is referenced by:  rngstrg  13365  lmodstrd  13394  ipsstrd  13406  topgrpstrd  13426  imasvalstrd  13500  cnfldstr  14723  psrvalstrd  14833