Theorem strle3g 12973

Description: Make a structure from a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I
strle2.j	|- I < J
strle2.k	|- J e. NN
strle2.b	|- B = J
strle3.k	|- J < K
strle3.l	|- K e. NN
strle3.c	|- C = K

Assertion

Ref	Expression
strle3g	|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } Struct <. I , K >. )

Proof of Theorem strle3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3641	. 2 |- { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } = ( { <. A , X >. , <. B , Y >. } u. { <. C , Z >. } )
2		strle1.i	. . . . 5 |- I e. NN
3		strle1.a	. . . . 5 |- A = I
4		strle2.j	. . . . 5 |- I < J
5		strle2.k	. . . . 5 |- J e. NN
6		strle2.b	. . . . 5 |- B = J
7	2, 3, 4, 5, 6	strle2g 12972	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )
8	7	3adant3 1020	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )
9		strle3.l	. . . . 5 |- K e. NN
10		strle3.c	. . . . 5 |- C = K
11	9, 10	strle1g 12971	. . . 4 |- ( Z e. P -> { <. C , Z >. } Struct <. K , K >. )
12	11	3ad2ant3 1023	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. C , Z >. } Struct <. K , K >. )
13		strle3.k	. . . 4 |- J < K
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> J < K )
15	8, 12, 14	strleund 12968	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> ( { <. A , X >. , <. B , Y >. } u. { <. C , Z >. } ) Struct <. I , K >. )
16	1, 15	eqbrtrid 4080	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } Struct <. I , K >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   u. cun 3164   {csn 3633   {cpr 3634   {ctp 3635   <.cop 3636   class class class wbr 4045   < clt 8109   NNcn 9038   Struct cstr 12861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-struct 12867

This theorem is referenced by:  rngstrg  13000  lmodstrd  13029  ipsstrd  13041  topgrpstrd  13061  imasvalstrd  13135  cnfldstr  14353  psrvalstrd  14463