Theorem strle3g 13271

Description: Make a structure from a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I
strle2.j	|- I < J
strle2.k	|- J e. NN
strle2.b	|- B = J
strle3.k	|- J < K
strle3.l	|- K e. NN
strle3.c	|- C = K

Assertion

Ref	Expression
strle3g	|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } Struct <. I , K >. )

Proof of Theorem strle3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3681	. 2 |- { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } = ( { <. A , X >. , <. B , Y >. } u. { <. C , Z >. } )
2		strle1.i	. . . . 5 |- I e. NN
3		strle1.a	. . . . 5 |- A = I
4		strle2.j	. . . . 5 |- I < J
5		strle2.k	. . . . 5 |- J e. NN
6		strle2.b	. . . . 5 |- B = J
7	2, 3, 4, 5, 6	strle2g 13270	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )
8	7	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )
9		strle3.l	. . . . 5 |- K e. NN
10		strle3.c	. . . . 5 |- C = K
11	9, 10	strle1g 13269	. . . 4 |- ( Z e. P -> { <. C , Z >. } Struct <. K , K >. )
12	11	3ad2ant3 1047	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. C , Z >. } Struct <. K , K >. )
13		strle3.k	. . . 4 |- J < K
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> J < K )
15	8, 12, 14	strleund 13266	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> ( { <. A , X >. , <. B , Y >. } u. { <. C , Z >. } ) Struct <. I , K >. )
16	1, 15	eqbrtrid 4128	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } Struct <. I , K >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   u. cun 3199   {csn 3673   {cpr 3674   {ctp 3675   <.cop 3676   class class class wbr 4093   < clt 8273   NNcn 9202   Struct cstr 13158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-struct 13164

This theorem is referenced by:  rngstrg  13298  lmodstrd  13327  ipsstrd  13339  topgrpstrd  13359  imasvalstrd  13433  cnfldstr  14654  psrvalstrd  14764