Theorem strle3g 12242

Description: Make a structure from a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I
strle2.j	|- I < J
strle2.k	|- J e. NN
strle2.b	|- B = J
strle3.k	|- J < K
strle3.l	|- K e. NN
strle3.c	|- C = K

Assertion

Ref	Expression
strle3g	|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } Struct <. I , K >. )

Proof of Theorem strle3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3568	. 2 |- { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } = ( { <. A , X >. , <. B , Y >. } u. { <. C , Z >. } )
2		strle1.i	. . . . 5 |- I e. NN
3		strle1.a	. . . . 5 |- A = I
4		strle2.j	. . . . 5 |- I < J
5		strle2.k	. . . . 5 |- J e. NN
6		strle2.b	. . . . 5 |- B = J
7	2, 3, 4, 5, 6	strle2g 12241	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )
8	7	3adant3 1002	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. } Struct <. I , J >. )
9		strle3.l	. . . . 5 |- K e. NN
10		strle3.c	. . . . 5 |- C = K
11	9, 10	strle1g 12240	. . . 4 |- ( Z e. P -> { <. C , Z >. } Struct <. K , K >. )
12	11	3ad2ant3 1005	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. C , Z >. } Struct <. K , K >. )
13		strle3.k	. . . 4 |- J < K
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> J < K )
15	8, 12, 14	strleund 12238	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> ( { <. A , X >. , <. B , Y >. } u. { <. C , Z >. } ) Struct <. I , K >. )
16	1, 15	eqbrtrid 3999	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. P ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } Struct <. I , K >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   {csn 3560   {cpr 3561   {ctp 3562   <.cop 3563   class class class wbr 3965   < clt 7895   NNcn 8816   Struct cstr 12146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-tp 3568  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-fz 9895  df-struct 12152

This theorem is referenced by:  rngstrg  12265  lmodstrd  12283  ipsstrd  12291  topgrpstrd  12301