Theorem strle2g 12089

Description: Make a structure from a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼
strle2.j	⊢ 𝐼 < 𝐽
strle2.k	⊢ 𝐽 ∈ ℕ
strle2.b	⊢ 𝐵 = 𝐽

Assertion

Ref	Expression
strle2g	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)

Proof of Theorem strle2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3539	. 2 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩})
2		strle1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
3		strle1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐼
4	2, 3	strle1g 12088	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
5	4	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
6		strle2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
7		strle2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = 𝐽
8	6, 7	strle1g 12088	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → {⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐽, 𝐽⟩)
9	8	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐽, 𝐽⟩)
10		strle2.j	. . . 4 ⊢ 𝐼 < 𝐽
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → 𝐼 < 𝐽)
12	5, 9, 11	strleund 12086	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩}) Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
13	1, 12	eqbrtrid 3971	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ∪ cun 3074  {csn 3532  {cpr 3533  ⟨cop 3535   class class class wbr 3937   < clt 7824  ℕcn 8744   Struct cstr 11994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-struct 12000

This theorem is referenced by:  strle3g  12090  2strstrg  12098