Theorem strle2g 12566

Description: Make a structure from a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼
strle2.j	⊢ 𝐼 < 𝐽
strle2.k	⊢ 𝐽 ∈ ℕ
strle2.b	⊢ 𝐵 = 𝐽

Assertion

Ref	Expression
strle2g	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)

Proof of Theorem strle2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3600	. 2 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩})
2		strle1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
3		strle1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐼
4	2, 3	strle1g 12565	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
6		strle2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
7		strle2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = 𝐽
8	6, 7	strle1g 12565	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → {⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐽, 𝐽⟩)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐽, 𝐽⟩)
10		strle2.j	. . . 4 ⊢ 𝐼 < 𝐽
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → 𝐼 < 𝐽)
12	5, 9, 11	strleund 12562	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩}) Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
13	1, 12	eqbrtrid 4039	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3128  {csn 3593  {cpr 3594  ⟨cop 3596   class class class wbr 4004   < clt 7992  ℕcn 8919   Struct cstr 12458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-struct 12464

This theorem is referenced by:  strle3g  12567  2strstrg  12577