ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strle2g GIF version

Theorem strle2g 11734
Description: Make a structure from a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a 𝐴 = 𝐼
strle2.j 𝐼 < 𝐽
strle2.k 𝐽 ∈ ℕ
strle2.b 𝐵 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
strle2g ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)

Proof of Theorem strle2g
StepHypRef Expression
1 df-pr 3473 . 2 {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩})
2 strle1.i . . . . 5 𝐼 ∈ ℕ
3 strle1.a . . . . 5 𝐴 = 𝐼
42, 3strle1g 11733 . . . 4 (𝑋𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
54adantr 271 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
6 strle2.k . . . . 5 𝐽 ∈ ℕ
7 strle2.b . . . . 5 𝐵 = 𝐽
86, 7strle1g 11733 . . . 4 (𝑌𝑊 → {⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐽, 𝐽⟩)
98adantl 272 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → {⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐽, 𝐽⟩)
10 strle2.j . . . 4 𝐼 < 𝐽
1110a1i 9 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → 𝐼 < 𝐽)
125, 9, 11strleund 11731 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩}) Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
131, 12syl5eqbr 3900 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1296  wcel 1445  cun 3011  {csn 3466  {cpr 3467  cop 3469   class class class wbr 3867   < clt 7619  cn 8520   Struct cstr 11639
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11645
This theorem is referenced by:  strle3g  11735  2strstrg  11743
  Copyright terms: Public domain W3C validator