Theorem strle2g 13213

Description: Make a structure from a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼
strle2.j	⊢ 𝐼 < 𝐽
strle2.k	⊢ 𝐽 ∈ ℕ
strle2.b	⊢ 𝐵 = 𝐽

Assertion

Ref	Expression
strle2g	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)

Proof of Theorem strle2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3677	. 2 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩})
2		strle1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
3		strle1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐼
4	2, 3	strle1g 13212	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
6		strle2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
7		strle2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = 𝐽
8	6, 7	strle1g 13212	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → {⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐽, 𝐽⟩)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐽, 𝐽⟩)
10		strle2.j	. . . 4 ⊢ 𝐼 < 𝐽
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → 𝐼 < 𝐽)
12	5, 9, 11	strleund 13209	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩}) Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
13	1, 12	eqbrtrid 4124	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ∪ cun 3197  {csn 3670  {cpr 3671  ⟨cop 3673   class class class wbr 4089   < clt 8219  ℕcn 9148   Struct cstr 13101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249  df-struct 13107

This theorem is referenced by:  strle3g  13214  2strstrndx  13224  2strstrg  13225  prdsvalstrd  13377