ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strle2g GIF version

Theorem strle2g 12281
Description: Make a structure from a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a 𝐴 = 𝐼
strle2.j 𝐼 < 𝐽
strle2.k 𝐽 ∈ ℕ
strle2.b 𝐵 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
strle2g ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)

Proof of Theorem strle2g
StepHypRef Expression
1 df-pr 3567 . 2 {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩})
2 strle1.i . . . . 5 𝐼 ∈ ℕ
3 strle1.a . . . . 5 𝐴 = 𝐼
42, 3strle1g 12280 . . . 4 (𝑋𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
54adantr 274 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
6 strle2.k . . . . 5 𝐽 ∈ ℕ
7 strle2.b . . . . 5 𝐵 = 𝐽
86, 7strle1g 12280 . . . 4 (𝑌𝑊 → {⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐽, 𝐽⟩)
98adantl 275 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → {⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐽, 𝐽⟩)
10 strle2.j . . . 4 𝐼 < 𝐽
1110a1i 9 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → 𝐼 < 𝐽)
125, 9, 11strleund 12278 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩}) Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
131, 12eqbrtrid 3999 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  cun 3100  {csn 3560  {cpr 3561  cop 3563   class class class wbr 3965   < clt 7912  cn 8833   Struct cstr 12186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913  df-struct 12192
This theorem is referenced by:  strle3g  12282  2strstrg  12290
  Copyright terms: Public domain W3C validator