Theorem struct2slots2dom 16033

Description: There are at least two elements in an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
struct2slots2dom	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2o ≼ dom 𝐺)

Proof of Theorem struct2slots2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13268	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
2	1	elexi 2826	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Base‘ndx) ∈ V)
4		structvtxvallem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℕ)
6		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑉 ∈ 𝑋)
7		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		structvtxvallem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
9		opexg 4344	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
10	1, 6, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
11		opexg 4344	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V)
12	4, 7, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V)
13		prexg 4325	. . . 4 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
15	8, 14	eqeltrid 2319	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ∈ V)
16	1	nnrei 9246	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℝ
17		structvtxvallem.b	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
18	16, 17	ltneii 8370	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ 𝑆
19	18	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
20	8	eqimss2i 3295	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺
21	20	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
22	3, 5, 6, 7, 15, 19, 21	hashdmprop2dom 11216	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2o ≼ dom 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211  {cpr 3690  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  ‘cfv 5352  2_oc2o 6641   ≼ cdom 6974   < clt 8308  ℕcn 9237  ndxcnx 13209  Basecbs 13212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224  ax-pre-ltirr 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1o 6647  df-2o 6648  df-en 6976  df-dom 6977  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218

This theorem is referenced by:  structvtxval  16034  structiedg0val  16035