Theorem struct2slots2dom 15712

Description: There are at least two elements in an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
struct2slots2dom	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2o ≼ dom 𝐺)

Proof of Theorem struct2slots2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 12963	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
2	1	elexi 2786	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Base‘ndx) ∈ V)
4		structvtxvallem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℕ)
6		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑉 ∈ 𝑋)
7		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		structvtxvallem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
9		opexg 4280	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
10	1, 6, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
11		opexg 4280	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V)
12	4, 7, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V)
13		prexg 4263	. . . 4 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
15	8, 14	eqeltrid 2293	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ∈ V)
16	1	nnrei 9065	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℝ
17		structvtxvallem.b	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
18	16, 17	ltneii 8189	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ 𝑆
19	18	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
20	8	eqimss2i 3254	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺
21	20	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
22	3, 5, 6, 7, 15, 19, 21	hashdmprop2dom 11011	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2o ≼ dom 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  {cpr 3639  ⟨cop 3641   class class class wbr 4051  dom cdm 4683  ‘cfv 5280  2_oc2o 6509   ≼ cdom 6839   < clt 8127  ℕcn 9056  ndxcnx 12904  Basecbs 12907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042  ax-pre-ltirr 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-1o 6515  df-2o 6516  df-en 6841  df-dom 6842  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913

This theorem is referenced by:  structvtxval  15713  structiedg0val  15714