Theorem struct2slots2dom 15577

Description: There are at least two elements in an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
struct2slots2dom	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2o ≼ dom 𝐺)

Proof of Theorem struct2slots2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 12830	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
2	1	elexi 2783	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Base‘ndx) ∈ V)
4		structvtxvallem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℕ)
6		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑉 ∈ 𝑋)
7		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		structvtxvallem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
9		opexg 4271	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
10	1, 6, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
11		opexg 4271	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V)
12	4, 7, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V)
13		prexg 4254	. . . 4 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
15	8, 14	eqeltrid 2291	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ∈ V)
16	1	nnrei 9044	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℝ
17		structvtxvallem.b	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
18	16, 17	ltneii 8168	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ 𝑆
19	18	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Base‘ndx) ≠ 𝑆)
20	8	eqimss2i 3249	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺
21	20	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
22	3, 5, 6, 7, 15, 19, 21	hashdmprop2dom 10987	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2o ≼ dom 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165  {cpr 3633  ⟨cop 3635   class class class wbr 4043  dom cdm 4674  ‘cfv 5270  2_oc2o 6495   ≼ cdom 6825   < clt 8106  ℕcn 9035  ndxcnx 12771  Basecbs 12774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021  ax-pre-ltirr 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-1o 6501  df-2o 6502  df-en 6827  df-dom 6828  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780

This theorem is referenced by:  structvtxval  15578  structiedg0val  15579