Theorem ltneii 8429

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
ltneii.2	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltneii	|- A =/= B

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 |- A e. RR
2		ltneii.2	. . 3 |- A < B
3	1, 2	gtneii 8428	. 2 |- B =/= A
4	3	necomi 2505	1 |- A =/= B

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371

This theorem is used by:  0ne1  9380  1ne2  9522  hashtpglem  11319  3dvds  12655  2strbasg  13532  2stropg  13533  plusgndxnmulrndx  13545  basendxnmulrndx  13546  slotsdifipndx  13587  slotsdifplendx  13622  basendxnocndx  13625  plendxnocndx  13626  slotsdifdsndx  13637  slotsdifunifndx  13644  setsmsbasg  15722  ppiqub  16310  2lgslem3  16442  2lgslem4  16444  basendxnedgfndx  16474  struct2slots2dom  16501  usgrexmpldifpr  16712  konigsbergiedgwen  16947  konigsberglem1  16951  konigsberglem2  16952  konigsberglem3  16953  konigsberglem5  16955  apdiff  17321