Theorem ltneii 8370

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
ltneii.2	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltneii	|- A =/= B

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 |- A e. RR
2		ltneii.2	. . 3 |- A < B
3	1, 2	gtneii 8369	. 2 |- B =/= A
4	3	necomi 2497	1 |- A =/= B

Syntax hints:   e. wcel 2203   =/= wne 2412   class class class wbr 4109   RRcr 8126   < clt 8308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313

This theorem is referenced by:  0ne1  9304  1ne2  9444  hashtpglem  11218  3dvds  12550  2strbasg  13333  2stropg  13334  plusgndxnmulrndx  13346  basendxnmulrndx  13347  slotsdifipndx  13388  slotsdifplendx  13423  basendxnocndx  13426  plendxnocndx  13427  slotsdifdsndx  13438  slotsdifunifndx  13445  setsmsbasg  15344  2lgslem3  15974  2lgslem4  15976  basendxnedgfndx  16006  struct2slots2dom  16033  usgrexmpldifpr  16244  konigsbergiedgwen  16479  konigsberglem1  16483  konigsberglem2  16484  konigsberglem3  16485  konigsberglem5  16487  apdiff  16832