Theorem ltneii 8412

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
ltneii.2	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltneii	|- A =/= B

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 |- A e. RR
2		ltneii.2	. . 3 |- A < B
3	1, 2	gtneii 8411	. 2 |- B =/= A
4	3	necomi 2505	1 |- A =/= B

Syntax hints:   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4125   RRcr 8168   < clt 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355

This theorem is referenced by:  0ne1  9350  1ne2  9490  hashtpglem  11276  3dvds  12609  2strbasg  13451  2stropg  13452  plusgndxnmulrndx  13464  basendxnmulrndx  13465  slotsdifipndx  13506  slotsdifplendx  13541  basendxnocndx  13544  plendxnocndx  13545  slotsdifdsndx  13556  slotsdifunifndx  13563  setsmsbasg  15503  2lgslem3  16134  2lgslem4  16136  basendxnedgfndx  16166  struct2slots2dom  16193  usgrexmpldifpr  16404  konigsbergiedgwen  16639  konigsberglem1  16643  konigsberglem2  16644  konigsberglem3  16645  konigsberglem5  16647  apdiff  17002