Theorem uhgr0v0e 16111

Description: The null graph, with no vertices, has no edges. (Contributed by AV, 21-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgr0v0e.v	|- V = (Vtx ` G )
uhgr0v0e.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
uhgr0v0e	|- ( ( G e. UHGraph /\ V = (/) ) -> E = (/) )

Proof of Theorem uhgr0v0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgr0v0e.v	. . . . . 6 |- V = (Vtx ` G )
2	1	eqeq1i 2238	. . . . 5 |- ( V = (/) <-> (Vtx ` G ) = (/) )
3		uhgr0vb 15961	. . . . . . 7 |- ( ( G e. UHGraph /\ (Vtx ` G ) = (/) ) -> ( G e. UHGraph <-> (iEdg ` G ) = (/) ) )
4	3	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ( G e. UHGraph /\ (Vtx ` G ) = (/) ) -> ( G e. UHGraph -> (iEdg ` G ) = (/) ) )
5	4	ex 115	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> ( (Vtx ` G ) = (/) -> ( G e. UHGraph -> (iEdg ` G ) = (/) ) ) )
6	2, 5	biimtrid 152	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( V = (/) -> ( G e. UHGraph -> (iEdg ` G ) = (/) ) ) )
7	6	pm2.43a 51	. . 3 |- ( G e. UHGraph -> ( V = (/) -> (iEdg ` G ) = (/) ) )
8	7	imp 124	. 2 |- ( ( G e. UHGraph /\ V = (/) ) -> (iEdg ` G ) = (/) )
9		uhgr0v0e.e	. . . . 5 |- E = (Edg ` G )
10	9	eqeq1i 2238	. . . 4 |- ( E = (/) <-> (Edg ` G ) = (/) )
11		uhgriedg0edg0 16012	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( (Edg ` G ) = (/) <-> (iEdg ` G ) = (/) ) )
12	10, 11	bitrid 192	. . 3 |- ( G e. UHGraph -> ( E = (/) <-> (iEdg ` G ) = (/) ) )
13	12	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. UHGraph /\ V = (/) ) -> ( E = (/) <-> (iEdg ` G ) = (/) ) )
14	8, 13	mpbird 167	1 |- ( ( G e. UHGraph /\ V = (/) ) -> E = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2201   (/)c0 3493   ` cfv 5325  Vtxcvtx 15889  iEdgciedg 15890  Edgcedg 15934  UHGraphcuhgr 15944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-cnre 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-id 4389  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-fo 5331  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-sub 8354  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-4 9206  df-5 9207  df-6 9208  df-7 9209  df-8 9210  df-9 9211  df-n0 9405  df-dec 9614  df-ndx 13105  df-slot 13106  df-base 13108  df-edgf 15882  df-vtx 15891  df-iedg 15892  df-edg 15935  df-uhgrm 15946

This theorem is referenced by:  uhgr0vsize0en  16112  uhgr0vusgr  16115