Theorem unsnfidcex 7114

Description: The 𝐵 ∈ 𝑉 condition in unsnfi 7113. This is intended to show that unsnfi 7113 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfidcex	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem unsnfidcex

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6936	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1044	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
6	5	3ad2ant3 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
8		simprr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
9	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝑛)
10		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 = 𝑛)
11	9, 10	breqtrrd 4115	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝑚)
12		simprr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
14	13	ensymd 6959	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
15		entr 6960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
17		simp1 1023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
18	17	ad4antr 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ Fin)
19		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
20		simp2 1024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
21	20	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
22	19, 21	eldifd 3209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
23		php5fin 7073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
24	18, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
25	16, 24	pm2.65da 667	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ¬ 𝐵 ∈ V)
26	25	orcd 740	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
27	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝑛)
28	27	ensymd 6959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 ≈ 𝐴)
29		snprc 3733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V ↔ {𝐵} = ∅)
30	29	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐵} = ∅)
31	30	uneq2d 3360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ ∅))
32		un0 3527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
33	31, 32	eqtrdi 2279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
35	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
36	34, 35	eqbrtrrd 4111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝑚)
37		entr 6960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑚) → 𝑛 ≈ 𝑚)
38	28, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 ≈ 𝑚)
39		simplrl 537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
40	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 ∈ ω)
41		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
42	41	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 ∈ ω)
43		nneneq 7045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ≈ 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑚))
44	40, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝑛 ≈ 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑚))
45	38, 44	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 = 𝑚)
46	45	eqcomd 2236	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 = 𝑛)
47		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝑚 = 𝑛)
48	46, 47	pm2.65da 667	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → ¬ ¬ 𝐵 ∈ V)
49	48	olcd 741	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
50		nndceq 6669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑚 = 𝑛)
51	41, 39, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → DECID 𝑚 = 𝑛)
52		exmiddc 843	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
54	26, 49, 53	mpjaodan 805	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
55	7, 54	rexlimddv 2654	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
56	3, 55	rexlimddv 2654	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
57		df-dc 842	. 2 ⊢ (DECID ¬ 𝐵 ∈ V ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
58	56, 57	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∃wrex 2510  Vcvv 2801   ∖ cdif 3196   ∪ cun 3197  ∅c0 3493  {csn 3668   class class class wbr 4087  ωcom 4687   ≈ cen 6909  Fincfn 6911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-br 4088  df-opab 4150  df-tr 4187  df-id 4389  df-iord 4462  df-on 4464  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-1o 6584  df-er 6704  df-en 6912  df-fin 6914

This theorem is referenced by: (None)