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Theorem unsnfidcex 6937
Description: The 𝐵𝑉 condition in unsnfi 6936. This is intended to show that unsnfi 6936 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfidcex ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem unsnfidcex
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6779 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 120 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
323ad2ant1 1020 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 isfi 6779 . . . . . . 7 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
54biimpi 120 . . . . . 6 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
653ad2ant3 1022 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
76adantr 276 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
8 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝑛)
98ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴𝑛)
10 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 = 𝑛)
119, 10breqtrrd 4046 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴𝑚)
12 simprr 531 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
1312ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
1413ensymd 6801 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
15 entr 6802 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑚𝑚 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
1611, 14, 15syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
17 simp1 999 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1817ad4antr 494 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ Fin)
19 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
20 simp2 1000 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ¬ 𝐵𝐴)
2120ad4antr 494 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝐵𝐴)
2219, 21eldifd 3154 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
23 php5fin 6900 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2418, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2516, 24pm2.65da 662 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ¬ 𝐵 ∈ V)
2625orcd 734 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
278ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝐴𝑛)
2827ensymd 6801 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛𝐴)
29 snprc 3672 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ∈ V ↔ {𝐵} = ∅)
3029biimpi 120 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V → {𝐵} = ∅)
3130uneq2d 3304 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ V → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ ∅))
32 un0 3471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
3331, 32eqtrdi 2238 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
3433adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
3512ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
3634, 35eqbrtrrd 4042 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝐴𝑚)
37 entr 6802 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝐴𝐴𝑚) → 𝑛𝑚)
3828, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛𝑚)
39 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
4039ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 ∈ ω)
41 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
4241ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 ∈ ω)
43 nneneq 6875 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑛 = 𝑚))
4440, 42, 43syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝑛𝑚𝑛 = 𝑚))
4538, 44mpbid 147 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 = 𝑚)
4645eqcomd 2195 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 = 𝑛)
47 simplr 528 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝑚 = 𝑛)
4846, 47pm2.65da 662 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → ¬ ¬ 𝐵 ∈ V)
4948olcd 735 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
50 nndceq 6518 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑚 = 𝑛)
5141, 39, 50syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → DECID 𝑚 = 𝑛)
52 exmiddc 837 . . . . . 6 (DECID 𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
5351, 52syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
5426, 49, 53mpjaodan 799 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
557, 54rexlimddv 2612 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
563, 55rexlimddv 2612 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
57 df-dc 836 . 2 (DECID ¬ 𝐵 ∈ V ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
5856, 57sylibr 134 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  DECID wdc 835  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wrex 2469  Vcvv 2752  cdif 3141  cun 3142  c0 3437  {csn 3607   class class class wbr 4018  ωcom 4604  cen 6756  Fincfn 6758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-1o 6435  df-er 6553  df-en 6759  df-fin 6761
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