Theorem unsnfidcex 7024

Description: The 𝐵 ∈ 𝑉 condition in unsnfi 7023. This is intended to show that unsnfi 7023 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfidcex	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem unsnfidcex

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6859	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
6	5	3ad2ant3 1023	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
8		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
9	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝑛)
10		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 = 𝑛)
11	9, 10	breqtrrd 4075	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝑚)
12		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
14	13	ensymd 6882	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
15		entr 6883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
17		simp1 1000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
18	17	ad4antr 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ Fin)
19		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
20		simp2 1001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
21	20	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
22	19, 21	eldifd 3177	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
23		php5fin 6986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
24	18, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
25	16, 24	pm2.65da 663	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ¬ 𝐵 ∈ V)
26	25	orcd 735	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
27	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝑛)
28	27	ensymd 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 ≈ 𝐴)
29		snprc 3699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V ↔ {𝐵} = ∅)
30	29	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐵} = ∅)
31	30	uneq2d 3328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ ∅))
32		un0 3495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
33	31, 32	eqtrdi 2255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
35	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
36	34, 35	eqbrtrrd 4071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝑚)
37		entr 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑚) → 𝑛 ≈ 𝑚)
38	28, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 ≈ 𝑚)
39		simplrl 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
40	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 ∈ ω)
41		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
42	41	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 ∈ ω)
43		nneneq 6961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ≈ 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑚))
44	40, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝑛 ≈ 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑚))
45	38, 44	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 = 𝑚)
46	45	eqcomd 2212	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 = 𝑛)
47		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝑚 = 𝑛)
48	46, 47	pm2.65da 663	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → ¬ ¬ 𝐵 ∈ V)
49	48	olcd 736	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
50		nndceq 6592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑚 = 𝑛)
51	41, 39, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → DECID 𝑚 = 𝑛)
52		exmiddc 838	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
54	26, 49, 53	mpjaodan 800	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
55	7, 54	rexlimddv 2629	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
56	3, 55	rexlimddv 2629	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
57		df-dc 837	. 2 ⊢ (DECID ¬ 𝐵 ∈ V ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
58	56, 57	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486  Vcvv 2773   ∖ cdif 3164   ∪ cun 3165  ∅c0 3461  {csn 3634   class class class wbr 4047  ωcom 4642   ≈ cen 6832  Fincfn 6834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-1o 6509  df-er 6627  df-en 6835  df-fin 6837

This theorem is referenced by: (None)