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Theorem unsnfidcex 6932
Description: The 𝐵𝑉 condition in unsnfi 6931. This is intended to show that unsnfi 6931 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfidcex ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem unsnfidcex
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6774 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 120 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
323ad2ant1 1019 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 isfi 6774 . . . . . . 7 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
54biimpi 120 . . . . . 6 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
653ad2ant3 1021 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
76adantr 276 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
8 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝑛)
98ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴𝑛)
10 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 = 𝑛)
119, 10breqtrrd 4043 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴𝑚)
12 simprr 531 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
1312ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
1413ensymd 6796 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
15 entr 6797 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑚𝑚 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
1611, 14, 15syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
17 simp1 998 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1817ad4antr 494 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ Fin)
19 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
20 simp2 999 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → ¬ 𝐵𝐴)
2120ad4antr 494 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝐵𝐴)
2219, 21eldifd 3151 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
23 php5fin 6895 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2418, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2516, 24pm2.65da 662 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ¬ 𝐵 ∈ V)
2625orcd 734 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
278ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝐴𝑛)
2827ensymd 6796 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛𝐴)
29 snprc 3669 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ∈ V ↔ {𝐵} = ∅)
3029biimpi 120 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V → {𝐵} = ∅)
3130uneq2d 3301 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ V → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ ∅))
32 un0 3468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
3331, 32eqtrdi 2236 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
3433adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
3512ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
3634, 35eqbrtrrd 4039 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝐴𝑚)
37 entr 6797 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝐴𝐴𝑚) → 𝑛𝑚)
3828, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛𝑚)
39 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
4039ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 ∈ ω)
41 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
4241ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 ∈ ω)
43 nneneq 6870 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑛 = 𝑚))
4440, 42, 43syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (𝑛𝑚𝑛 = 𝑚))
4538, 44mpbid 147 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑛 = 𝑚)
4645eqcomd 2193 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → 𝑚 = 𝑛)
47 simplr 528 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝑚 = 𝑛)
4846, 47pm2.65da 662 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → ¬ ¬ 𝐵 ∈ V)
4948olcd 735 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑛) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
50 nndceq 6513 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑚 = 𝑛)
5141, 39, 50syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → DECID 𝑚 = 𝑛)
52 exmiddc 837 . . . . . 6 (DECID 𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
5351, 52syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (𝑚 = 𝑛 ∨ ¬ 𝑚 = 𝑛))
5426, 49, 53mpjaodan 799 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
557, 54rexlimddv 2609 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
563, 55rexlimddv 2609 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
57 df-dc 836 . 2 (DECID ¬ 𝐵 ∈ V ↔ (¬ 𝐵 ∈ V ∨ ¬ ¬ 𝐵 ∈ V))
5856, 57sylibr 134 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin) → DECID ¬ 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  DECID wdc 835  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  wrex 2466  Vcvv 2749  cdif 3138  cun 3139  c0 3434  {csn 3604   class class class wbr 4015  ωcom 4601  cen 6751  Fincfn 6753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-1o 6430  df-er 6548  df-en 6754  df-fin 6756
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