ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettpos GIF version

Theorem xmettpos 12353
Description: The distance function of an extended metric space is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettpos (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → tpos 𝐷 = 𝐷)

Proof of Theorem xmettpos
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetsym 12351 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
213expb 1163 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
32ralrimivva 2486 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
4 xmetf 12333 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5 ffn 5228 . . 3 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
6 tpossym 6125 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (tpos 𝐷 = 𝐷 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥)))
74, 5, 63syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (tpos 𝐷 = 𝐷 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥)))
83, 7mpbird 166 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → tpos 𝐷 = 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1312  wcel 1461  wral 2388   × cxp 4495   Fn wfn 5074  wf 5075  cfv 5079  (class class class)co 5726  tpos ctpos 6093  *cxr 7717  ∞Metcxmet 11986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1re 7633  ax-addrcl 7636  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-apti 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fo 5085  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-tpos 6094  df-map 6496  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-xadd 9447  df-xmet 11994
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator