Theorem sinmul 11718

Description: Product of sines can be rewritten as half the difference of certain cosines. This follows from cosadd 11711 and cossub 11715. (Contributed by David A. Wheeler, 26-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))

Proof of Theorem sinmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossub 11715	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 − 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
2		cosadd 11711	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
3	1, 2	oveq12d 5883	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) = ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
4		coscl 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
5		coscl 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
6		mulcl 7913	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
8		sincl 11680	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
9		sincl 11680	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
10		mulcl 7913	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
12		pnncan 8172	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
13	12	3anidm23 1297	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
14		2times 9018	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
15	14	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
16	13, 15	eqtr4d 2211	. . . . 5 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
17	7, 11, 16	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) − (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
18		2cn 8961	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
19		mulcom 7915	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2))
20	18, 11, 19	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2))
21	3, 17, 20	3eqtrd 2212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2))
22	21	oveq1d 5880	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2) = ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2))
23		2ap0 8983	. . . 4 ⊢ 2 # 0
24		divcanap4 8628	. . . 4 ⊢ ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
25	18, 23, 24	mp3an23 1329	. . 3 ⊢ (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
26	11, 25	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) · 2) / 2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
27	22, 26	eqtr2d 2209	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) = (((cos‘(𝐴 − 𝐵)) − (cos‘(𝐴 + 𝐵))) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   class class class wbr 3998  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  0cc0 7786   + caddc 7789   · cmul 7791   − cmin 8102   # cap 8512   / cdiv 8601  2c2 8941  sincsin 11618  cosccos 11619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-disj 3976  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-ico 9863  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-fac 10672  df-bc 10694  df-ihash 10722  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-sumdc 11328  df-ef 11622  df-sin 11624  df-cos 11625

This theorem is referenced by:  ptolemy  13814