Theorem 2timesd 9559

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9441	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8183   + caddc 8188   · cmul 8190  2c2 9364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-mulcl 8283  ax-mulcom 8286  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-1rid 8292  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-2 9372

This theorem is used by:  xleaddadd  10305  fzctr  10556  flhalf  10757  q2submod  10842  modaddmodup  10844  m1expeven  11043  binom2  11108  nn0opthlem2d  11180  crre  11643  imval2  11680  resqrexlemdec  11798  amgm2  11906  maxabsle  11992  maxabslemab  11994  maxltsup  12006  max0addsup  12007  arisum2  12290  efival  12523  sinadd  12527  cosadd  12528  addsin  12533  subsin  12534  cosmul  12536  addcos  12537  subcos  12538  sin2t  12540  cos2t  12541  eirraplem  12568  pythagtriplem12  13082  pythagtriplem15  13085  pythagtriplem17  13087  difsqpwdvds  13145  4sqlem11  13208  4sqlem12  13209  bl2in  15646  sineq0re  16093  cosordlem  16094  ppiqub  16310  chtublem  16312  chtqub  16313  bcctr  16319  pcbcctr  16320  bcmono  16321  bcmax  16322  bcp1ctr  16323  bposlem1  16328  bposlem2  16329  bposlem9  16336  gausslemma2d  16410  lgsquadlem1  16418  apdifflemf  17319  apdifflemr  17320