Theorem 2timesd 9553

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9435	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8178   + caddc 8183   · cmul 8185  2c2 9358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-mulcl 8278  ax-mulcom 8281  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-1rid 8287  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-2 9366

This theorem is used by:  xleaddadd  10300  fzctr  10551  flhalf  10752  q2submod  10837  modaddmodup  10839  m1expeven  11038  binom2  11103  nn0opthlem2d  11175  crre  11638  imval2  11675  resqrexlemdec  11793  amgm2  11901  maxabsle  11987  maxabslemab  11989  maxltsup  12001  max0addsup  12002  arisum2  12285  efival  12518  sinadd  12522  cosadd  12523  addsin  12528  subsin  12529  cosmul  12531  addcos  12532  subcos  12533  sin2t  12535  cos2t  12536  eirraplem  12563  pythagtriplem12  13077  pythagtriplem15  13080  pythagtriplem17  13082  difsqpwdvds  13140  4sqlem11  13203  4sqlem12  13204  bl2in  15595  cosordlem  16042  ppiqub  16254  chtublem  16256  chtqub  16257  bcctr  16263  pcbcctr  16264  bcmono  16265  bcmax  16266  bcp1ctr  16267  bposlem1  16272  bposlem2  16273  bposlem9  16280  gausslemma2d  16354  lgsquadlem1  16362  apdifflemf  17262  apdifflemr  17263