Theorem 2timesd 9553

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9435	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8178   + caddc 8183   · cmul 8185  2c2 9358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-mulcl 8278  ax-mulcom 8281  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-1rid 8287  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-2 9366

This theorem is used by:  xleaddadd  10300  fzctr  10551  flhalf  10751  q2submod  10836  modaddmodup  10838  m1expeven  11037  binom2  11102  nn0opthlem2d  11174  crre  11637  imval2  11674  resqrexlemdec  11792  amgm2  11900  maxabsle  11986  maxabslemab  11988  maxltsup  12000  max0addsup  12001  arisum2  12284  efival  12517  sinadd  12521  cosadd  12522  addsin  12527  subsin  12528  cosmul  12530  addcos  12531  subcos  12532  sin2t  12534  cos2t  12535  eirraplem  12562  pythagtriplem12  13076  pythagtriplem15  13079  pythagtriplem17  13081  difsqpwdvds  13139  4sqlem11  13202  4sqlem12  13203  bl2in  15556  cosordlem  16003  ppiqub  16215  chtublem  16217  chtqub  16218  bcctr  16224  pcbcctr  16225  bcmono  16226  bcmax  16227  bcp1ctr  16228  bposlem1  16233  bposlem2  16234  gausslemma2d  16310  lgsquadlem1  16318  apdifflemf  17217  apdifflemr  17218