Theorem 2timesd 9481

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9365	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  ℂcc 8125   + caddc 8130   · cmul 8132  2c2 9288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-mulcl 8225  ax-mulcom 8228  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-1rid 8234  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-2 9296

This theorem is referenced by:  xleaddadd  10220  fzctr  10467  flhalf  10662  q2submod  10747  modaddmodup  10749  m1expeven  10948  binom2  11013  nn0opthlem2d  11083  crre  11542  imval2  11579  resqrexlemdec  11696  amgm2  11803  maxabsle  11889  maxabslemab  11891  maxltsup  11903  max0addsup  11904  arisum2  12185  efival  12418  sinadd  12422  cosadd  12423  addsin  12428  subsin  12429  cosmul  12431  addcos  12432  subcos  12433  sin2t  12435  cos2t  12436  eirraplem  12463  pythagtriplem12  12973  pythagtriplem15  12976  pythagtriplem17  12978  difsqpwdvds  13036  4sqlem11  13099  4sqlem12  13100  bl2in  15268  cosordlem  15714  gausslemma2d  15942  lgsquadlem1  15950  apdifflemf  16830  apdifflemr  16831