Theorem 2timesd 9234

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9118	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  ℂcc 7877   + caddc 7882   · cmul 7884  2c2 9041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-mulcl 7977  ax-mulcom 7980  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-1rid 7986  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-2 9049

This theorem is referenced by:  xleaddadd  9962  fzctr  10208  flhalf  10392  q2submod  10477  modaddmodup  10479  m1expeven  10678  binom2  10743  nn0opthlem2d  10813  crre  11022  imval2  11059  resqrexlemdec  11176  amgm2  11283  maxabsle  11369  maxabslemab  11371  maxltsup  11383  max0addsup  11384  arisum2  11664  efival  11897  sinadd  11901  cosadd  11902  addsin  11907  subsin  11908  cosmul  11910  addcos  11911  subcos  11912  sin2t  11914  cos2t  11915  eirraplem  11942  pythagtriplem12  12444  pythagtriplem15  12447  pythagtriplem17  12449  difsqpwdvds  12507  4sqlem11  12570  4sqlem12  12571  bl2in  14639  cosordlem  15085  gausslemma2d  15310  lgsquadlem1  15318  apdifflemf  15690  apdifflemr  15691