Theorem 2timesd 9559

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9441	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8183   + caddc 8188   · cmul 8190  2c2 9364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-mulcl 8283  ax-mulcom 8286  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-1rid 8292  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-2 9372

This theorem is used by:  xleaddadd  10306  fzctr  10557  flhalf  10758  q2submod  10843  modaddmodup  10845  m1expeven  11044  binom2  11109  nn0opthlem2d  11181  crre  11644  imval2  11681  resqrexlemdec  11799  amgm2  11907  maxabsle  11993  maxabslemab  11995  maxltsup  12007  max0addsup  12008  arisum2  12291  efival  12524  sinadd  12528  cosadd  12529  addsin  12534  subsin  12535  cosmul  12537  addcos  12538  subcos  12539  sin2t  12541  cos2t  12542  eirraplem  12569  pythagtriplem12  13083  pythagtriplem15  13086  pythagtriplem17  13088  difsqpwdvds  13146  4sqlem11  13209  4sqlem12  13210  bl2in  15629  sineq0re  16076  cosordlem  16077  ppiqub  16293  chtublem  16295  chtqub  16296  bcctr  16302  pcbcctr  16303  bcmono  16304  bcmax  16305  bcp1ctr  16306  bposlem1  16311  bposlem2  16312  bposlem9  16319  gausslemma2d  16393  lgsquadlem1  16401  apdifflemf  17302  apdifflemr  17303