Theorem 2timesd 9279

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943  ℂcc 7922   + caddc 7927   · cmul 7929  2c2 9086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-mulcl 8022  ax-mulcom 8025  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-1rid 8031  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-2 9094

This theorem is referenced by:  xleaddadd  10008  fzctr  10254  flhalf  10443  q2submod  10528  modaddmodup  10530  m1expeven  10729  binom2  10794  nn0opthlem2d  10864  crre  11139  imval2  11176  resqrexlemdec  11293  amgm2  11400  maxabsle  11486  maxabslemab  11488  maxltsup  11500  max0addsup  11501  arisum2  11781  efival  12014  sinadd  12018  cosadd  12019  addsin  12024  subsin  12025  cosmul  12027  addcos  12028  subcos  12029  sin2t  12031  cos2t  12032  eirraplem  12059  pythagtriplem12  12569  pythagtriplem15  12572  pythagtriplem17  12574  difsqpwdvds  12632  4sqlem11  12695  4sqlem12  12696  bl2in  14846  cosordlem  15292  gausslemma2d  15517  lgsquadlem1  15525  apdifflemf  15947  apdifflemr  15948