Theorem 2timesd 9386

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  ℂcc 8029   + caddc 8034   · cmul 8036  2c2 9193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-mulcl 8129  ax-mulcom 8132  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-1rid 8138  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-2 9201

This theorem is referenced by:  xleaddadd  10121  fzctr  10367  flhalf  10561  q2submod  10646  modaddmodup  10648  m1expeven  10847  binom2  10912  nn0opthlem2d  10982  crre  11417  imval2  11454  resqrexlemdec  11571  amgm2  11678  maxabsle  11764  maxabslemab  11766  maxltsup  11778  max0addsup  11779  arisum2  12059  efival  12292  sinadd  12296  cosadd  12297  addsin  12302  subsin  12303  cosmul  12305  addcos  12306  subcos  12307  sin2t  12309  cos2t  12310  eirraplem  12337  pythagtriplem12  12847  pythagtriplem15  12850  pythagtriplem17  12852  difsqpwdvds  12910  4sqlem11  12973  4sqlem12  12974  bl2in  15126  cosordlem  15572  gausslemma2d  15797  lgsquadlem1  15805  apdifflemf  16650  apdifflemr  16651