Theorem 2timesd 9262

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5934  ℂcc 7905   + caddc 7910   · cmul 7912  2c2 9069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-mulcl 8005  ax-mulcom 8008  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-1rid 8014  ax-cnre 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-iota 5229  df-fv 5276  df-ov 5937  df-2 9077

This theorem is referenced by:  xleaddadd  9991  fzctr  10237  flhalf  10426  q2submod  10511  modaddmodup  10513  m1expeven  10712  binom2  10777  nn0opthlem2d  10847  crre  11087  imval2  11124  resqrexlemdec  11241  amgm2  11348  maxabsle  11434  maxabslemab  11436  maxltsup  11448  max0addsup  11449  arisum2  11729  efival  11962  sinadd  11966  cosadd  11967  addsin  11972  subsin  11973  cosmul  11975  addcos  11976  subcos  11977  sin2t  11979  cos2t  11980  eirraplem  12007  pythagtriplem12  12517  pythagtriplem15  12520  pythagtriplem17  12522  difsqpwdvds  12580  4sqlem11  12643  4sqlem12  12644  bl2in  14793  cosordlem  15239  gausslemma2d  15464  lgsquadlem1  15472  apdifflemf  15849  apdifflemr  15850