Theorem 2timesd 9253

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7896   + caddc 7901   · cmul 7903  2c2 9060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-mulcl 7996  ax-mulcom 7999  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-1rid 8005  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-2 9068

This theorem is referenced by:  xleaddadd  9981  fzctr  10227  flhalf  10411  q2submod  10496  modaddmodup  10498  m1expeven  10697  binom2  10762  nn0opthlem2d  10832  crre  11041  imval2  11078  resqrexlemdec  11195  amgm2  11302  maxabsle  11388  maxabslemab  11390  maxltsup  11402  max0addsup  11403  arisum2  11683  efival  11916  sinadd  11920  cosadd  11921  addsin  11926  subsin  11927  cosmul  11929  addcos  11930  subcos  11931  sin2t  11933  cos2t  11934  eirraplem  11961  pythagtriplem12  12471  pythagtriplem15  12474  pythagtriplem17  12476  difsqpwdvds  12534  4sqlem11  12597  4sqlem12  12598  bl2in  14747  cosordlem  15193  gausslemma2d  15418  lgsquadlem1  15426  apdifflemf  15803  apdifflemr  15804