Theorem 2timesd 9365

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  ℂcc 8008   + caddc 8013   · cmul 8015  2c2 9172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-mulcl 8108  ax-mulcom 8111  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-1rid 8117  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-2 9180

This theorem is referenced by:  xleaddadd  10095  fzctr  10341  flhalf  10534  q2submod  10619  modaddmodup  10621  m1expeven  10820  binom2  10885  nn0opthlem2d  10955  crre  11383  imval2  11420  resqrexlemdec  11537  amgm2  11644  maxabsle  11730  maxabslemab  11732  maxltsup  11744  max0addsup  11745  arisum2  12025  efival  12258  sinadd  12262  cosadd  12263  addsin  12268  subsin  12269  cosmul  12271  addcos  12272  subcos  12273  sin2t  12275  cos2t  12276  eirraplem  12303  pythagtriplem12  12813  pythagtriplem15  12816  pythagtriplem17  12818  difsqpwdvds  12876  4sqlem11  12939  4sqlem12  12940  bl2in  15092  cosordlem  15538  gausslemma2d  15763  lgsquadlem1  15771  apdifflemf  16474  apdifflemr  16475