Theorem 2timesd 9552

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9434	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177   + caddc 8182   · cmul 8184  2c2 9357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-mulcl 8277  ax-mulcom 8280  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-1rid 8286  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-2 9365

This theorem is used by:  xleaddadd  10299  fzctr  10550  flhalf  10750  q2submod  10835  modaddmodup  10837  m1expeven  11036  binom2  11101  nn0opthlem2d  11173  crre  11636  imval2  11673  resqrexlemdec  11791  amgm2  11899  maxabsle  11985  maxabslemab  11987  maxltsup  11999  max0addsup  12000  arisum2  12282  efival  12515  sinadd  12519  cosadd  12520  addsin  12525  subsin  12526  cosmul  12528  addcos  12529  subcos  12530  sin2t  12532  cos2t  12533  eirraplem  12560  pythagtriplem12  13074  pythagtriplem15  13077  pythagtriplem17  13079  difsqpwdvds  13137  4sqlem11  13200  4sqlem12  13201  bl2in  15553  cosordlem  16000  ppiqub  16194  bcctr  16200  pcbcctr  16201  bcmono  16202  bcmax  16203  bcp1ctr  16204  bposlem1  16209  bposlem2  16210  gausslemma2d  16286  lgsquadlem1  16294  apdifflemf  17193  apdifflemr  17194