Theorem 2timesd 9548

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9432	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177   + caddc 8182   · cmul 8184  2c2 9355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-mulcl 8277  ax-mulcom 8280  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-1rid 8286  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-2 9363

This theorem is used by:  xleaddadd  10289  fzctr  10540  flhalf  10737  q2submod  10822  modaddmodup  10824  m1expeven  11023  binom2  11088  nn0opthlem2d  11159  crre  11622  imval2  11659  resqrexlemdec  11777  amgm2  11884  maxabsle  11970  maxabslemab  11972  maxltsup  11984  max0addsup  11985  arisum2  12266  efival  12499  sinadd  12503  cosadd  12504  addsin  12509  subsin  12510  cosmul  12512  addcos  12513  subcos  12514  sin2t  12516  cos2t  12517  eirraplem  12544  pythagtriplem12  13054  pythagtriplem15  13057  pythagtriplem17  13059  difsqpwdvds  13117  4sqlem11  13180  4sqlem12  13181  bl2in  15504  cosordlem  15950  gausslemma2d  16188  lgsquadlem1  16196  apdifflemf  17095  apdifflemr  17096