Theorem 2timesd 9120

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9006	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772   + caddc 7777   · cmul 7779  2c2 8929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-mulcl 7872  ax-mulcom 7875  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-1rid 7881  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-2 8937

This theorem is referenced by:  xleaddadd  9844  fzctr  10089  flhalf  10258  q2submod  10341  modaddmodup  10343  m1expeven  10523  binom2  10587  nn0opthlem2d  10655  crre  10821  imval2  10858  resqrexlemdec  10975  amgm2  11082  maxabsle  11168  maxabslemab  11170  maxltsup  11182  max0addsup  11183  arisum2  11462  efival  11695  sinadd  11699  cosadd  11700  addsin  11705  subsin  11706  cosmul  11708  addcos  11709  subcos  11710  sin2t  11712  cos2t  11713  eirraplem  11739  pythagtriplem12  12229  pythagtriplem15  12232  pythagtriplem17  12234  difsqpwdvds  12291  bl2in  13197  cosordlem  13564  apdifflemf  14078  apdifflemr  14079