Theorem 2timesd 8719

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 8605	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  (class class class)co 5666  ℂcc 7409   + caddc 7414   · cmul 7416  2c2 8534

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-mulcl 7504  ax-mulcom 7507  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-1rid 7513  ax-cnre 7517

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-iota 4993  df-fv 5036  df-ov 5669  df-2 8542

This theorem is referenced by:  fzctr  9605  flhalf  9770  q2submod  9853  modaddmodup  9855  m1expeven  10063  binom2  10126  nn0opthlem2d  10190  crre  10352  imval2  10389  resqrexlemdec  10505  amgm2  10612  maxabsle  10698  maxabslemab  10700  maxltsup  10712  max0addsup  10713  arisum2  10954  efival  11084  sinadd  11088  cosadd  11089  addsin  11094  subsin  11095  cosmul  11097  addcos  11098  subcos  11099  sin2t  11101  cos2t  11102  eirraplem  11125