Theorem 2timesd 9163

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 9049	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  ℂcc 7811   + caddc 7816   · cmul 7818  2c2 8972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-mulcl 7911  ax-mulcom 7914  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-1rid 7920  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-2 8980

This theorem is referenced by:  xleaddadd  9889  fzctr  10135  flhalf  10304  q2submod  10387  modaddmodup  10389  m1expeven  10569  binom2  10634  nn0opthlem2d  10703  crre  10868  imval2  10905  resqrexlemdec  11022  amgm2  11129  maxabsle  11215  maxabslemab  11217  maxltsup  11229  max0addsup  11230  arisum2  11509  efival  11742  sinadd  11746  cosadd  11747  addsin  11752  subsin  11753  cosmul  11755  addcos  11756  subcos  11757  sin2t  11759  cos2t  11760  eirraplem  11786  pythagtriplem12  12277  pythagtriplem15  12280  pythagtriplem17  12282  difsqpwdvds  12339  bl2in  13988  cosordlem  14355  apdifflemf  14879  apdifflemr  14880