Theorem 2halves 9351

Description: Two halves make a whole. (Contributed by NM, 11-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2halves	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)

Proof of Theorem 2halves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2times 9249	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	oveq1d 6022	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = ((𝐴 + 𝐴) / 2))
3		2cn 9192	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2ap0 9214	. . 3 ⊢ 2 # 0
5		divcanap3 8856	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
6	3, 4, 5	mp3an23 1363	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
7	3, 4	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
8		divdirap 8855	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
9	7, 8	mp3an3 1360	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
10	9	anidms 397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
11	2, 6, 10	3eqtr3rd 2271	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  0cc0 8010   + caddc 8013   · cmul 8015   # cap 8739   / cdiv 8830  2c2 9172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-2 9180

This theorem is referenced by:  halfpos  9353  lt2halves  9358  2halvesd  9368  pidiv2halves  15484  sincos4thpi  15529  rpcxpsqrt  15611