Theorem halfaddsub 9518

Description: Sum and difference of half-sum and half-difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
halfaddsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))

Proof of Theorem halfaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppncan 8558	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	3anidm13 1337	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
3		2times 9411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5	2, 4	eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
6	5	oveq1d 6090	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
7		addcl 8294	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8		subcl 8515	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
9		2cn 9354	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		2ap0 9376	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
11	9, 10	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
12		divdirap 9017	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
13	11, 12	mp3an3 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
14	7, 8, 13	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
15		divcanap3 9018	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
16	9, 10, 15	mp3an23 1370	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
18	6, 14, 17	3eqtr3d 2279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
19		pnncan 8557	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
20	19	3anidm23 1338	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
21		2times 9411	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
22	21	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
23	20, 22	eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
24	23	oveq1d 6090	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
25		divsubdirap 9028	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
26	11, 25	mp3an3 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
27	7, 8, 26	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
28		divcanap3 9018	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
29	9, 10, 28	mp3an23 1370	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
30	29	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
31	24, 27, 30	3eqtr3d 2279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵)
32	18, 31	jca 306	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169   + caddc 8172   · cmul 8174   − cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992  2c2 9334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-2 9342

This theorem is referenced by:  addsin  12487  subsin  12488  addcos  12491  subcos  12492  ioo2bl  15575