Theorem halfaddsub 9472

Description: Sum and difference of half-sum and half-difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
halfaddsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))

Proof of Theorem halfaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppncan 8515	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
2	1	3anidm13 1333	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
3		2times 9365	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5	2, 4	eqtr4d 2268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐴))
6	5	oveq1d 6065	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
7		addcl 8252	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8		subcl 8472	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
9		2cn 9308	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		2ap0 9330	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
11	9, 10	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
12		divdirap 8971	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
13	11, 12	mp3an3 1363	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
14	7, 8, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
15		divcanap3 8972	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
16	9, 10, 15	mp3an23 1366	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
18	6, 14, 17	3eqtr3d 2273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
19		pnncan 8514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
20	19	3anidm23 1334	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
21		2times 9365	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
22	21	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
23	20, 22	eqtr4d 2268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
24	23	oveq1d 6065	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
25		divsubdirap 8982	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
26	11, 25	mp3an3 1363	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
27	7, 8, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
28		divcanap3 8972	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
29	9, 10, 28	mp3an23 1366	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
30	29	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
31	24, 27, 30	3eqtr3d 2273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵)
32	18, 31	jca 306	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127   + caddc 8130   · cmul 8132   − cmin 8444   # cap 8855   / cdiv 8946  2c2 9288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-2 9296

This theorem is referenced by:  addsin  12428  subsin  12429  addcos  12432  subcos  12433  ioo2bl  15416