Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  halfaddsub GIF version

 Description: Sum and difference of half-sum and half-difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
halfaddsub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))

StepHypRef Expression
1 ppncan 8096 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
213anidm13 1275 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
3 2times 8940 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
43adantr 274 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
52, 4eqtr4d 2190 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐴))
65oveq1d 5829 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
7 addcl 7836 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8 subcl 8053 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
9 2cn 8883 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
10 2ap0 8905 . . . . . 6 2 # 0
119, 10pm3.2i 270 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
12 divdirap 8549 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
1311, 12mp3an3 1305 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
147, 8, 13syl2anc 409 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
15 divcanap3 8550 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
169, 10, 15mp3an23 1308 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
1716adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
186, 14, 173eqtr3d 2195 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
19 pnncan 8095 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
20193anidm23 1276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
21 2times 8940 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2221adantl 275 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2320, 22eqtr4d 2190 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐵))
2423oveq1d 5829 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
25 divsubdirap 8560 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
2611, 25mp3an3 1305 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
277, 8, 26syl2anc 409 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
28 divcanap3 8550 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
299, 10, 28mp3an23 1308 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3029adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3124, 27, 303eqtr3d 2195 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵)
3218, 31jca 304 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  0cc0 7711   + caddc 7714   · cmul 7716   − cmin 8025   # cap 8435   / cdiv 8524  2c2 8863 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-2 8871 This theorem is referenced by:  addsin  11616  subsin  11617  addcos  11620  subcos  11621  ioo2bl  12882
 Copyright terms: Public domain W3C validator