ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  halfaddsub GIF version

Theorem halfaddsub 8908
Description: Sum and difference of half-sum and half-difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
halfaddsub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))

Proof of Theorem halfaddsub
StepHypRef Expression
1 ppncan 7968 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
213anidm13 1257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
3 2times 8802 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
43adantr 272 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
52, 4eqtr4d 2151 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐴))
65oveq1d 5755 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
7 addcl 7709 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8 subcl 7925 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
9 2cn 8751 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
10 2ap0 8773 . . . . . 6 2 # 0
119, 10pm3.2i 268 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
12 divdirap 8420 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
1311, 12mp3an3 1287 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
147, 8, 13syl2anc 406 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))
15 divcanap3 8421 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
169, 10, 15mp3an23 1290 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
1716adantr 272 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
186, 14, 173eqtr3d 2156 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
19 pnncan 7967 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
20193anidm23 1258 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
21 2times 8802 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2221adantl 273 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2320, 22eqtr4d 2151 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐵))
2423oveq1d 5755 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
25 divsubdirap 8431 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
2611, 25mp3an3 1287 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
277, 8, 26syl2anc 406 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))
28 divcanap3 8421 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
299, 10, 28mp3an23 1290 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3029adantl 273 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3124, 27, 303eqtr3d 2156 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵)
3218, 31jca 302 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cc 7582  0cc0 7584   + caddc 7587   · cmul 7589  cmin 7897   # cap 8306   / cdiv 8395  2c2 8731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-2 8739
This theorem is referenced by:  addsin  11359  subsin  11360  addcos  11363  subcos  11364  ioo2bl  12618  sin24declemsub  13075
  Copyright terms: Public domain W3C validator