Theorem expubnd 10688

Description: An upper bound on 𝐴↑𝑁 when 2 ≤ 𝐴. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expubnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))

Proof of Theorem expubnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		2re 9060	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		peano2rem 8293	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4		remulcl 8007	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
7		simp2 1000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		0le2 9080	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
9		0re 8026	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		letr 8109	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴))
11	9, 2, 10	mp3an12 1338	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴))
12	8, 11	mpani 430	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
13	12	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
14		resubcl 8290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 − 2) ∈ ℝ)
15	2, 14	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 2) ∈ ℝ)
16		leadd2 8458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 2) ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
17	2, 16	mp3an1 1335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 2) ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
18	15, 17	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
19	18	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴))
20		recn 8012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21		2cn 9061	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		npcan 8235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
24	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
25		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		subdi 8411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 − 1)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 1)))
27	21, 25, 26	mp3an13 1339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 − 1)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 1)))
28		2times 9118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
29		2t1e2 9144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 1) = 2)
31	28, 30	oveq12d 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − (2 · 1)) = ((𝐴 + 𝐴) − 2))
32		addsub 8237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
33	21, 32	mp3an3 1337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
34	33	anidms 397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
35	27, 31, 34	3eqtrrd 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
36	20, 35	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
37	36	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
38	19, 24, 37	3brtr3d 4064	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1)))
39	13, 38	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1))))
40	39	3adant2 1018	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1))))
41		leexp1a 10686	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1)))) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁))
42	1, 6, 7, 40, 41	syl31anc 1252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁))
43	3	recnd 8055	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
44		mulexp 10670	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
45	21, 44	mp3an1 1335	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
46	43, 45	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
47	46	3adant3 1019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
48	42, 47	breqtrd 4059	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   ≤ cle 8062   − cmin 8197  2c2 9041  ℕ₀cn0 9249  ↑cexp 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-exp 10631

This theorem is referenced by: (None)