Theorem expubnd 10864

Description: An upper bound on 𝐴↑𝑁 when 2 ≤ 𝐴. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expubnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))

Proof of Theorem expubnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		2re 9218	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		peano2rem 8451	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4		remulcl 8165	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant1 1044	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
7		simp2 1024	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		0le2 9238	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
9		0re 8184	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		letr 8267	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴))
11	9, 2, 10	mp3an12 1363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴))
12	8, 11	mpani 430	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
13	12	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
14		resubcl 8448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 − 2) ∈ ℝ)
15	2, 14	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 2) ∈ ℝ)
16		leadd2 8616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 2) ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
17	2, 16	mp3an1 1360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 2) ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
18	15, 17	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
19	18	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴))
20		recn 8170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21		2cn 9219	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		npcan 8393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
24	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
25		ax-1cn 8130	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		subdi 8569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 − 1)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 1)))
27	21, 25, 26	mp3an13 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 − 1)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 1)))
28		2times 9276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
29		2t1e2 9302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 1) = 2)
31	28, 30	oveq12d 6041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − (2 · 1)) = ((𝐴 + 𝐴) − 2))
32		addsub 8395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
33	21, 32	mp3an3 1362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
34	33	anidms 397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
35	27, 31, 34	3eqtrrd 2268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
36	20, 35	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
37	36	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
38	19, 24, 37	3brtr3d 4120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1)))
39	13, 38	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1))))
40	39	3adant2 1042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1))))
41		leexp1a 10862	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1)))) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁))
42	1, 6, 7, 40, 41	syl31anc 1276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁))
43	3	recnd 8213	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
44		mulexp 10846	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
45	21, 44	mp3an1 1360	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
46	43, 45	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
47	46	3adant3 1043	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
48	42, 47	breqtrd 4115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  ℝcr 8036  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040   · cmul 8042   ≤ cle 8220   − cmin 8355  2c2 9199  ℕ₀cn0 9407  ↑cexp 10806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-seqfrec 10716  df-exp 10807

This theorem is referenced by: (None)