Theorem 3ecoptocl 6779

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
3ecoptocl.1	⊢ 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
3ecoptocl.2	⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3ecoptocl.3	⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3ecoptocl.4	⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒 ↔ 𝜃))
3ecoptocl.5	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
3ecoptocl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤,𝑣,𝑢   𝑣,𝐶,𝑢   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝑧,𝑆,𝑤,𝑣,𝑢   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤   𝜃,𝑣,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜓(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 3ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ecoptocl.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
2		3ecoptocl.3	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒)))
4		3ecoptocl.4	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒 ↔ 𝜃))
5	4	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜃)))
6		3ecoptocl.2	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → ((((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑) ↔ (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜓)))
8		3ecoptocl.5	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑)
9	8	3expib 1230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑))
10	1, 7, 9	ecoptocl 6777	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜓))
11	10	com12 30	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓))
12	1, 3, 5, 11	2ecoptocl 6778	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜃))
13	12	com12 30	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃))
14	13	3impib 1225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   × cxp 4717  [cec 6686   / cqs 6687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-ec 6690  df-qs 6694

This theorem is referenced by:  ecovass  6799  ecoviass  6800  ecovdi  6801  ecovidi  6802  ltsonq  7596  ltanqg  7598  ltmnqg  7599  lttrsr  7960  ltsosr  7962  ltasrg  7968  mulextsr1  7979