ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3ecoptocl GIF version

Theorem 3ecoptocl 6314
Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
3ecoptocl.1 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
3ecoptocl.2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
3ecoptocl.3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
3ecoptocl.4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒𝜃))
3ecoptocl.5 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑)
Assertion
Ref Expression
3ecoptocl ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → 𝜃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤,𝑣,𝑢   𝑣,𝐶,𝑢   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝑧,𝑆,𝑤,𝑣,𝑢   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤   𝜃,𝑣,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜓(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 3ecoptocl
StepHypRef Expression
1 3ecoptocl.1 . . . 4 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
2 3ecoptocl.3 . . . . 5 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
32imbi2d 228 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴𝑆𝜓) ↔ (𝐴𝑆𝜒)))
4 3ecoptocl.4 . . . . 5 ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒𝜃))
54imbi2d 228 . . . 4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → ((𝐴𝑆𝜒) ↔ (𝐴𝑆𝜃)))
6 3ecoptocl.2 . . . . . . 7 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
76imbi2d 228 . . . . . 6 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → ((((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑) ↔ (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜓)))
8 3ecoptocl.5 . . . . . . 7 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑)
983expib 1144 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑))
101, 7, 9ecoptocl 6312 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜓))
1110com12 30 . . . 4 (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → (𝐴𝑆𝜓))
121, 3, 5, 112ecoptocl 6313 . . 3 ((𝐵𝑆𝐶𝑆) → (𝐴𝑆𝜃))
1312com12 30 . 2 (𝐴𝑆 → ((𝐵𝑆𝐶𝑆) → 𝜃))
14133impib 1139 1 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → 𝜃)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  cop 3428   × cxp 4402  [cec 6223   / cqs 6224
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-br 3815  df-opab 3869  df-xp 4410  df-cnv 4412  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-ec 6227  df-qs 6231
This theorem is referenced by:  ecovass  6334  ecoviass  6335  ecovdi  6336  ecovidi  6337  ltsonq  6878  ltanqg  6880  ltmnqg  6881  lttrsr  7229  ltsosr  7231  ltasrg  7237  mulextsr1  7247
  Copyright terms: Public domain W3C validator