ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulextsr1 GIF version

Theorem mulextsr1 7780
Description: Strong extensionality of multiplication of signed reals. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulextsr1 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R โˆง ๐ถ โˆˆ R) โ†’ ((๐ด ยทR ๐ถ) <R (๐ต ยทR ๐ถ) โ†’ (๐ด <R ๐ต โˆจ ๐ต <R ๐ด)))

Proof of Theorem mulextsr1
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7726 . 2 R = ((P ร— P) / ~R )
2 oveq1 5882 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) = (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ))
32breq1d 4014 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) โ†” (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R )))
4 breq1 4007 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โ†” ๐ด <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ))
5 breq2 4008 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โ†” [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R ๐ด))
64, 5orbi12d 793 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ) โ†” (๐ด <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R ๐ด)))
73, 6imbi12d 234 . 2 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ ((([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R )) โ†” ((๐ด ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) โ†’ (๐ด <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R ๐ด))))
8 oveq1 5882 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) = (๐ต ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ))
98breq2d 4016 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) โ†” (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R (๐ต ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R )))
10 breq2 4008 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ (๐ด <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โ†” ๐ด <R ๐ต))
11 breq1 4007 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R ๐ด โ†” ๐ต <R ๐ด))
1210, 11orbi12d 793 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ ((๐ด <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R ๐ด) โ†” (๐ด <R ๐ต โˆจ ๐ต <R ๐ด)))
139, 12imbi12d 234 . 2 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ (((๐ด ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) โ†’ (๐ด <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R ๐ด)) โ†” ((๐ด ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R (๐ต ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) โ†’ (๐ด <R ๐ต โˆจ ๐ต <R ๐ด))))
14 oveq2 5883 . . . 4 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) = (๐ด ยทR ๐ถ))
15 oveq2 5883 . . . 4 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R = ๐ถ โ†’ (๐ต ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) = (๐ต ยทR ๐ถ))
1614, 15breq12d 4017 . . 3 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R (๐ต ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) โ†” (๐ด ยทR ๐ถ) <R (๐ต ยทR ๐ถ)))
1716imbi1d 231 . 2 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R = ๐ถ โ†’ (((๐ด ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R (๐ต ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) โ†’ (๐ด <R ๐ต โˆจ ๐ต <R ๐ด)) โ†” ((๐ด ยทR ๐ถ) <R (๐ต ยทR ๐ถ) โ†’ (๐ด <R ๐ต โˆจ ๐ต <R ๐ด))))
18 mulextsr1lem 7779 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ((((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) +P ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข)))<P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ))) โ†’ ((๐‘ฅ +P ๐‘ค)<P (๐‘ฆ +P ๐‘ง) โˆจ (๐‘ง +P ๐‘ฆ)<P (๐‘ค +P ๐‘ฅ))))
19 mulsrpr 7745 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))โŸฉ] ~R )
20193adant2 1016 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))โŸฉ] ~R )
21 mulsrpr 7745 . . . . . 6 (((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ)), ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข))โŸฉ] ~R )
22213adant1 1015 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ)), ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข))โŸฉ] ~R )
2320, 22breq12d 4017 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) โ†” [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))โŸฉ] ~R <R [โŸจ((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ)), ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข))โŸฉ] ~R ))
24 simp1l 1021 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ P)
25 simp3l 1025 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ P)
26 mulclpr 7571 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
2724, 25, 26syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
28 simp1r 1022 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ P)
29 simp3r 1026 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ P)
30 mulclpr 7571 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
3128, 29, 30syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
32 addclpr 7536 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P)
3327, 31, 32syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P)
34 mulclpr 7571 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
3524, 29, 34syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
36 mulclpr 7571 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
3728, 25, 36syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
38 addclpr 7536 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
3935, 37, 38syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
40 simp2l 1023 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ P)
41 mulclpr 7571 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ง ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
4240, 25, 41syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ง ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
43 simp2r 1024 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ P)
44 mulclpr 7571 . . . . . . 7 ((๐‘ค โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
4543, 29, 44syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
46 addclpr 7536 . . . . . 6 (((๐‘ง ยทP ๐‘ข) โˆˆ P โˆง (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P)
4742, 45, 46syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P)
48 mulclpr 7571 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
4940, 29, 48syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
50 mulclpr 7571 . . . . . . 7 ((๐‘ค โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
5143, 25, 50syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ค ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
52 addclpr 7536 . . . . . 6 (((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P โˆง (๐‘ค ยทP ๐‘ข) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
5349, 51, 52syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
54 ltsrprg 7746 . . . . 5 (((((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P) โˆง (((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))โŸฉ] ~R <R [โŸจ((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ)), ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข))โŸฉ] ~R โ†” (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) +P ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข)))<P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ)))))
5533, 39, 47, 53, 54syl22anc 1239 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))โŸฉ] ~R <R [โŸจ((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ)), ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข))โŸฉ] ~R โ†” (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) +P ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข)))<P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ)))))
5623, 55bitrd 188 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) โ†” (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) +P ((๐‘ง ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ข)))<P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ง ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ค ยทP ๐‘ฃ)))))
57 ltsrprg 7746 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ค)<P (๐‘ฆ +P ๐‘ง)))
58573adant3 1017 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ฅ +P ๐‘ค)<P (๐‘ฆ +P ๐‘ง)))
59 ltsrprg 7746 . . . . . 6 (((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ง +P ๐‘ฆ)<P (๐‘ค +P ๐‘ฅ)))
6059ancoms 268 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ง +P ๐‘ฆ)<P (๐‘ค +P ๐‘ฅ)))
61603adant3 1017 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โ†” (๐‘ง +P ๐‘ฆ)<P (๐‘ค +P ๐‘ฅ)))
6258, 61orbi12d 793 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ) โ†” ((๐‘ฅ +P ๐‘ค)<P (๐‘ฆ +P ๐‘ง) โˆจ (๐‘ง +P ๐‘ฆ)<P (๐‘ค +P ๐‘ฅ))))
6318, 56, 623imtr4d 203 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) <R ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~R ) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R )))
641, 7, 13, 17, 633ecoptocl 6624 1 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R โˆง ๐ถ โˆˆ R) โ†’ ((๐ด ยทR ๐ถ) <R (๐ต ยทR ๐ถ) โ†’ (๐ด <R ๐ต โˆจ ๐ต <R ๐ด)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3596   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  [cec 6533  Pcnp 7290   +P cpp 7292   ยทP cmp 7293  <P cltp 7294   ~R cer 7295  Rcnr 7296   ยทR cmr 7301   <R cltr 7302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-iplp 7467  df-imp 7468  df-iltp 7469  df-enr 7725  df-nr 7726  df-mr 7728  df-ltr 7729
This theorem is referenced by:  axpre-mulext  7887
  Copyright terms: Public domain W3C validator