ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmnqg GIF version

Theorem ltmnqg 7414
Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltmnqg ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))

Proof of Theorem ltmnqg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7361 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 breq1 4018 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))
3 oveq2 5896 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) = ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ด))
43breq1d 4025 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )))
52, 4bibi12d 235 . 2 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )) โ†” (๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))))
6 breq2 4019 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q ๐ต))
7 oveq2 5896 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ต))
87breq2d 4027 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ต)))
96, 8bibi12d 235 . 2 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ((๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )) โ†” (๐ด <Q ๐ต โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ต))))
10 oveq1 5895 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ด) = (๐ถ ยทQ ๐ด))
11 oveq1 5895 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ต) = (๐ถ ยทQ ๐ต))
1210, 11breq12d 4028 . . 3 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ต) โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))
1312bibi2d 232 . 2 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ ((๐ด <Q ๐ต โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ต)) โ†” (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต))))
14 mulclpi 7341 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
1514adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
16 simp1l 1022 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ N)
17 simp2r 1025 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ N)
1815, 16, 17caovcld 6042 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
19 simp1r 1023 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ N)
20 simp2l 1024 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ N)
2115, 19, 20caovcld 6042 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
22 mulclpi 7341 . . . . . . 7 ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
23223ad2ant3 1021 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
24 ltmpig 7352 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N โˆง (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โ†” ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))))
2518, 21, 23, 24syl3anc 1248 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โ†” ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))))
26 simp3l 1026 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ N)
27 simp3r 1027 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ N)
28 mulcompig 7344 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
2928adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
30 mulasspig 7345 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
3130adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
3226, 16, 27, 29, 31, 17, 15caov4d 6073 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)))
3327, 19, 26, 29, 31, 20, 15caov4d 6073 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง)) = ((๐‘ข ยทN ๐‘ฃ) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
34 mulcompig 7344 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข))
3534oveq1d 5903 . . . . . . . . 9 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฃ) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) = ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
3635ancoms 268 . . . . . . . 8 ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฃ) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) = ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
37363ad2ant3 1021 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฃ) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) = ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
3833, 37eqtrd 2220 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง)) = ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
3932, 38breq12d 4028 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง)) โ†” ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))))
4025, 39bitr4d 191 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โ†” ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง))))
41 ordpipqqs 7387 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
42413adant3 1018 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
4315, 26, 16caovcld 6042 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ) โˆˆ N)
4415, 27, 19caovcld 6042 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
4515, 26, 20caovcld 6042 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
4615, 27, 17caovcld 6042 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
47 ordpipqqs 7387 . . . . 5 ((((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N) โˆง ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q <Q [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ง), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โ†” ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง))))
4843, 44, 45, 46, 47syl22anc 1249 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q <Q [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ง), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โ†” ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง))))
4940, 42, 483bitr4d 220 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q <Q [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ง), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q ))
50 mulpipqqs 7386 . . . . . 6 (((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q )
5150ancoms 268 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q )
52513adant2 1017 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q )
53 mulpipqqs 7386 . . . . . 6 (((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ง), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
5453ancoms 268 . . . . 5 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ง), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
55543adant1 1016 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ง), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
5652, 55breq12d 4028 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ฅ), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q <Q [โŸจ(๐‘ฃ ยทN ๐‘ง), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q ))
5749, 56bitr4d 191 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )))
581, 5, 9, 13, 573ecoptocl 6638 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  [cec 6547  Ncnpi 7285   ยทN cmi 7287   <N clti 7288   ~Q ceq 7292  Qcnq 7293   ยทQ cmq 7296   <Q cltq 7298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-mi 7319  df-lti 7320  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-mqqs 7363  df-ltnqqs 7366
This theorem is referenced by:  ltmnqi  7416  lt2mulnq  7418  ltaddnq  7420  prarloclemarch  7431  prarloclemarch2  7432  ltrnqg  7433  prarloclemlt  7506  addnqprllem  7540  addnqprulem  7541  appdivnq  7576  mulnqprl  7581  mulnqpru  7582  mullocprlem  7583  mulclpr  7585  distrlem4prl  7597  distrlem4pru  7598  1idprl  7603  1idpru  7604  recexprlem1ssl  7646  recexprlem1ssu  7647
  Copyright terms: Public domain W3C validator