ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqg GIF version

Theorem ltanqg 7413
Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqg ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต)))

Proof of Theorem ltanqg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7361 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 breq1 4018 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))
3 oveq2 5896 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) = ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด))
43breq1d 4025 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )))
52, 4bibi12d 235 . 2 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )) โ†” (๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))))
6 breq2 4019 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q ๐ต))
7 oveq2 5896 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต))
87breq2d 4027 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต)))
96, 8bibi12d 235 . 2 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ((๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )) โ†” (๐ด <Q ๐ต โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต))))
10 oveq1 5895 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) = (๐ถ +Q ๐ด))
11 oveq1 5895 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต) = (๐ถ +Q ๐ต))
1210, 11breq12d 4028 . . 3 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต) โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต)))
1312bibi2d 232 . 2 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ ((๐ด <Q ๐ต โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต)) โ†” (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต))))
14 addclpi 7340 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ +N ๐‘”) โˆˆ N)
1514adantl 277 . . . . 5 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ +N ๐‘”) โˆˆ N)
16 simp3l 1026 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ N)
17 simp1r 1023 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ N)
18 mulclpi 7341 . . . . . 6 ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
1916, 17, 18syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
20 simp3r 1027 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ N)
21 simp1l 1022 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ N)
22 mulclpi 7341 . . . . . 6 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฅ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) โˆˆ N)
2320, 21, 22syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) โˆˆ N)
2415, 19, 23caovcld 6042 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) โˆˆ N)
25 mulclpi 7341 . . . . 5 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
2620, 17, 25syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
27 mulclpi 7341 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
2827adantl 277 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
29 simp2r 1025 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ N)
3028, 16, 29caovcld 6042 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
31 simp2l 1024 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ N)
32 mulclpi 7341 . . . . . 6 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
3320, 31, 32syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
3415, 30, 33caovcld 6042 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
35 mulclpi 7341 . . . . 5 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
3620, 29, 35syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
37 ordpipqqs 7387 . . . 4 (((((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N) โˆง (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
3824, 26, 34, 36, 37syl22anc 1249 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
39 simp3 1000 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N))
40 simp1 998 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N))
41 addpipqqs 7383 . . . . 5 (((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q )
4239, 40, 41syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q )
43 simp2 999 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N))
44 addpipqqs 7383 . . . . 5 (((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
4539, 43, 44syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
4642, 45breq12d 4028 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q ))
47 ordpipqqs 7387 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
48473adant3 1018 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
49 mulclpi 7341 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
5021, 29, 49syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
51 mulclpi 7341 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
5217, 31, 51syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
53 mulclpi 7341 . . . . . 6 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
5420, 20, 53syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
55 ltmpig 7352 . . . . 5 (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โ†” ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))))
5650, 52, 54, 55syl3anc 1248 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โ†” ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))))
57 mulclpi 7341 . . . . . . 7 (((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N)
5823, 36, 57syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N)
59 mulclpi 7341 . . . . . . 7 (((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ง) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
6026, 33, 59syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
61 mulclpi 7341 . . . . . . 7 (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N)
6219, 36, 61syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N)
63 ltapig 7351 . . . . . 6 ((((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N โˆง ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N) โ†’ (((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค))) <N (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
6458, 60, 62, 63syl3anc 1248 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค))) <N (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
65 mulcompig 7344 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
6665adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
67 mulasspig 7345 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
6867adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
6920, 20, 21, 66, 68, 29, 28caov4d 6073 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) = ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)))
7020, 20, 17, 66, 68, 31, 28caov4d 6073 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) = ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))
7169, 70breq12d 4028 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โ†” ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง))))
72 distrpig 7346 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN (๐‘” +N โ„Ž)) = ((๐‘“ ยทN ๐‘”) +N (๐‘“ ยทN โ„Ž)))
7372adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN (๐‘” +N โ„Ž)) = ((๐‘“ ยทN ๐‘”) +N (๐‘“ ยทN โ„Ž)))
7473, 19, 23, 36, 15, 66caovdir2d 6065 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) = (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค))))
7573, 26, 30, 33caovdid 6064 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง))) = (((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง))))
7620, 17, 16, 66, 68, 29, 28caov411d 6074 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)))
7776oveq1d 5903 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง))) = (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง))))
7875, 77eqtrd 2220 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง))) = (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง))))
7974, 78breq12d 4028 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง))) โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค))) <N (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
8064, 71, 793bitr4d 220 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
8148, 56, 803bitrd 214 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
8238, 46, 813bitr4rd 221 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )))
831, 5, 9, 13, 823ecoptocl 6638 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  [cec 6547  Ncnpi 7285   +N cpli 7286   ยทN cmi 7287   <N clti 7288   ~Q ceq 7292  Qcnq 7293   +Q cplq 7295   <Q cltq 7298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-ltnqqs 7366
This theorem is referenced by:  ltanqi  7415  lt2addnq  7417  ltaddnq  7420  prarloclemlt  7506  prarloclemcalc  7515  addlocprlemgt  7547  addclpr  7550  prmuloclemcalc  7578  distrlem4prl  7597  distrlem4pru  7598  ltexprlemopl  7614  ltexprlemopu  7616  ltexprlemdisj  7619  ltexprlemloc  7620  ltexprlemfl  7622  ltexprlemfu  7624  aptiprleml  7652  aptiprlemu  7653  cauappcvgprlemopl  7659  cauappcvgprlemlol  7660  cauappcvgprlemdisj  7664  cauappcvgprlemloc  7665  cauappcvgprlemladdfu  7667  cauappcvgprlemladdru  7669  cauappcvgprlemladdrl  7670  cauappcvgprlem1  7672  caucvgprlemnkj  7679  caucvgprlemnbj  7680  caucvgprlemm  7681  caucvgprlemopl  7682  caucvgprlemlol  7683  caucvgprlemloc  7688  caucvgprlemladdfu  7690  caucvgprlemladdrl  7691  caucvgprprlemml  7707  caucvgprprlemopl  7710  caucvgprprlemlol  7711
  Copyright terms: Public domain W3C validator