ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqg GIF version

Theorem ltanqg 7220
Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqg ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))

Proof of Theorem ltanqg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7168 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3932 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
3 oveq2 5782 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴))
43breq1d 3939 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
52, 4bibi12d 234 . 2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) ↔ (𝐴 <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))))
6 breq2 3933 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝐴 <Q 𝐵))
7 oveq2 5782 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵))
87breq2d 3941 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵)))
96, 8bibi12d 234 . 2 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵))))
10 oveq1 5781 . . . 4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) = (𝐶 +Q 𝐴))
11 oveq1 5781 . . . 4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵) = (𝐶 +Q 𝐵))
1210, 11breq12d 3942 . . 3 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = 𝐶 → (([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵) ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
1312bibi2d 231 . 2 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = 𝐶 → ((𝐴 <Q 𝐵 ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵))))
14 addclpi 7147 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 +N 𝑔) ∈ N)
1514adantl 275 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 +N 𝑔) ∈ N)
16 simp3l 1009 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑣N)
17 simp1r 1006 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑦N)
18 mulclpi 7148 . . . . . 6 ((𝑣N𝑦N) → (𝑣 ·N 𝑦) ∈ N)
1916, 17, 18syl2anc 408 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑣 ·N 𝑦) ∈ N)
20 simp3r 1010 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑢N)
21 simp1l 1005 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑥N)
22 mulclpi 7148 . . . . . 6 ((𝑢N𝑥N) → (𝑢 ·N 𝑥) ∈ N)
2320, 21, 22syl2anc 408 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑢 ·N 𝑥) ∈ N)
2415, 19, 23caovcld 5924 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ∈ N)
25 mulclpi 7148 . . . . 5 ((𝑢N𝑦N) → (𝑢 ·N 𝑦) ∈ N)
2620, 17, 25syl2anc 408 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑢 ·N 𝑦) ∈ N)
27 mulclpi 7148 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
2827adantl 275 . . . . . 6 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
29 simp2r 1008 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑤N)
3028, 16, 29caovcld 5924 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑣 ·N 𝑤) ∈ N)
31 simp2l 1007 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑧N)
32 mulclpi 7148 . . . . . 6 ((𝑢N𝑧N) → (𝑢 ·N 𝑧) ∈ N)
3320, 31, 32syl2anc 408 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑢 ·N 𝑧) ∈ N)
3415, 30, 33caovcld 5924 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)) ∈ N)
35 mulclpi 7148 . . . . 5 ((𝑢N𝑤N) → (𝑢 ·N 𝑤) ∈ N)
3620, 29, 35syl2anc 408 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑢 ·N 𝑤) ∈ N)
37 ordpipqqs 7194 . . . 4 (((((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑦) ∈ N) ∧ (((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑤) ∈ N)) → ([⟨((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)), (𝑢 ·N 𝑦)⟩] ~Q <Q [⟨((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)), (𝑢 ·N 𝑤)⟩] ~Q ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)))))
3824, 26, 34, 36, 37syl22anc 1217 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)), (𝑢 ·N 𝑦)⟩] ~Q <Q [⟨((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)), (𝑢 ·N 𝑤)⟩] ~Q ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)))))
39 simp3 983 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑣N𝑢N))
40 simp1 981 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑥N𝑦N))
41 addpipqqs 7190 . . . . 5 (((𝑣N𝑢N) ∧ (𝑥N𝑦N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = [⟨((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)), (𝑢 ·N 𝑦)⟩] ~Q )
4239, 40, 41syl2anc 408 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = [⟨((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)), (𝑢 ·N 𝑦)⟩] ~Q )
43 simp2 982 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧N𝑤N))
44 addpipqqs 7190 . . . . 5 (((𝑣N𝑢N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)), (𝑢 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
4539, 43, 44syl2anc 408 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)), (𝑢 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
4642, 45breq12d 3942 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ [⟨((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)), (𝑢 ·N 𝑦)⟩] ~Q <Q [⟨((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)), (𝑢 ·N 𝑤)⟩] ~Q ))
47 ordpipqqs 7194 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
48473adant3 1001 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
49 mulclpi 7148 . . . . . 6 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
5021, 29, 49syl2anc 408 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
51 mulclpi 7148 . . . . . 6 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
5217, 31, 51syl2anc 408 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
53 mulclpi 7148 . . . . . 6 ((𝑢N𝑢N) → (𝑢 ·N 𝑢) ∈ N)
5420, 20, 53syl2anc 408 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑢 ·N 𝑢) ∈ N)
55 ltmpig 7159 . . . . 5 (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧) ↔ ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑥 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑦 ·N 𝑧))))
5650, 52, 54, 55syl3anc 1216 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧) ↔ ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑥 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑦 ·N 𝑧))))
57 mulclpi 7148 . . . . . . 7 (((𝑢 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑤) ∈ N) → ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N)
5823, 36, 57syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N)
59 mulclpi 7148 . . . . . . 7 (((𝑢 ·N 𝑦) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)) ∈ N)
6026, 33, 59syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)) ∈ N)
61 mulclpi 7148 . . . . . . 7 (((𝑣 ·N 𝑦) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑤) ∈ N) → ((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N)
6219, 36, 61syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N)
63 ltapig 7158 . . . . . 6 ((((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N ∧ ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ ((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N) → (((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)) ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤))) <N (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)))))
6458, 60, 62, 63syl3anc 1216 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)) ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤))) <N (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)))))
65 mulcompig 7151 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
6665adantl 275 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
67 mulasspig 7152 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6867adantl 275 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6920, 20, 21, 66, 68, 29, 28caov4d 5955 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑥 ·N 𝑤)) = ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)))
7020, 20, 17, 66, 68, 31, 28caov4d 5955 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)))
7169, 70breq12d 3942 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑥 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑦 ·N 𝑧)) ↔ ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧))))
72 distrpig 7153 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → (𝑓 ·N (𝑔 +N )) = ((𝑓 ·N 𝑔) +N (𝑓 ·N )))
7372adantl 275 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → (𝑓 ·N (𝑔 +N )) = ((𝑓 ·N 𝑔) +N (𝑓 ·N )))
7473, 19, 23, 36, 15, 66caovdir2d 5947 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) = (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤))))
7573, 26, 30, 33caovdid 5946 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧))) = (((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑣 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧))))
7620, 17, 16, 66, 68, 29, 28caov411d 5956 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑣 ·N 𝑤)) = ((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)))
7776oveq1d 5789 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑣 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧))) = (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧))))
7875, 77eqtrd 2172 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧))) = (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧))))
7974, 78breq12d 3942 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧))) ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤))) <N (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)))))
8064, 71, 793bitr4d 219 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑥 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑦 ·N 𝑧)) ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)))))
8148, 56, 803bitrd 213 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)))))
8238, 46, 813bitr4rd 220 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
831, 5, 9, 13, 823ecoptocl 6518 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  [cec 6427  Ncnpi 7092   +N cpli 7093   ·N cmi 7094   <N clti 7095   ~Q ceq 7099  Qcnq 7100   +Q cplq 7102   <Q cltq 7105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-ltnqqs 7173
This theorem is referenced by:  ltanqi  7222  lt2addnq  7224  ltaddnq  7227  prarloclemlt  7313  prarloclemcalc  7322  addlocprlemgt  7354  addclpr  7357  prmuloclemcalc  7385  distrlem4prl  7404  distrlem4pru  7405  ltexprlemopl  7421  ltexprlemopu  7423  ltexprlemdisj  7426  ltexprlemloc  7427  ltexprlemfl  7429  ltexprlemfu  7431  aptiprleml  7459  aptiprlemu  7460  cauappcvgprlemopl  7466  cauappcvgprlemlol  7467  cauappcvgprlemdisj  7471  cauappcvgprlemloc  7472  cauappcvgprlemladdfu  7474  cauappcvgprlemladdru  7476  cauappcvgprlemladdrl  7477  cauappcvgprlem1  7479  caucvgprlemnkj  7486  caucvgprlemnbj  7487  caucvgprlemm  7488  caucvgprlemopl  7489  caucvgprlemlol  7490  caucvgprlemloc  7495  caucvgprlemladdfu  7497  caucvgprlemladdrl  7498  caucvgprprlemml  7514  caucvgprprlemopl  7517  caucvgprprlemlol  7518
  Copyright terms: Public domain W3C validator