ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqg GIF version

Theorem ltanqg 7390
Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqg ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))

Proof of Theorem ltanqg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7338 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 4003 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
3 oveq2 5877 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴))
43breq1d 4010 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
52, 4bibi12d 235 . 2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) ↔ (𝐴 <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))))
6 breq2 4004 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝐴 <Q 𝐵))
7 oveq2 5877 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵))
87breq2d 4012 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵)))
96, 8bibi12d 235 . 2 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵))))
10 oveq1 5876 . . . 4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) = (𝐶 +Q 𝐴))
11 oveq1 5876 . . . 4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵) = (𝐶 +Q 𝐵))
1210, 11breq12d 4013 . . 3 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = 𝐶 → (([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵) ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
1312bibi2d 232 . 2 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = 𝐶 → ((𝐴 <Q 𝐵 ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐴) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵))))
14 addclpi 7317 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 +N 𝑔) ∈ N)
1514adantl 277 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 +N 𝑔) ∈ N)
16 simp3l 1025 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑣N)
17 simp1r 1022 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑦N)
18 mulclpi 7318 . . . . . 6 ((𝑣N𝑦N) → (𝑣 ·N 𝑦) ∈ N)
1916, 17, 18syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑣 ·N 𝑦) ∈ N)
20 simp3r 1026 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑢N)
21 simp1l 1021 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑥N)
22 mulclpi 7318 . . . . . 6 ((𝑢N𝑥N) → (𝑢 ·N 𝑥) ∈ N)
2320, 21, 22syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑢 ·N 𝑥) ∈ N)
2415, 19, 23caovcld 6022 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ∈ N)
25 mulclpi 7318 . . . . 5 ((𝑢N𝑦N) → (𝑢 ·N 𝑦) ∈ N)
2620, 17, 25syl2anc 411 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑢 ·N 𝑦) ∈ N)
27 mulclpi 7318 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
2827adantl 277 . . . . . 6 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
29 simp2r 1024 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑤N)
3028, 16, 29caovcld 6022 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑣 ·N 𝑤) ∈ N)
31 simp2l 1023 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑧N)
32 mulclpi 7318 . . . . . 6 ((𝑢N𝑧N) → (𝑢 ·N 𝑧) ∈ N)
3320, 31, 32syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑢 ·N 𝑧) ∈ N)
3415, 30, 33caovcld 6022 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)) ∈ N)
35 mulclpi 7318 . . . . 5 ((𝑢N𝑤N) → (𝑢 ·N 𝑤) ∈ N)
3620, 29, 35syl2anc 411 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑢 ·N 𝑤) ∈ N)
37 ordpipqqs 7364 . . . 4 (((((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑦) ∈ N) ∧ (((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑤) ∈ N)) → ([⟨((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)), (𝑢 ·N 𝑦)⟩] ~Q <Q [⟨((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)), (𝑢 ·N 𝑤)⟩] ~Q ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)))))
3824, 26, 34, 36, 37syl22anc 1239 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)), (𝑢 ·N 𝑦)⟩] ~Q <Q [⟨((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)), (𝑢 ·N 𝑤)⟩] ~Q ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)))))
39 simp3 999 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑣N𝑢N))
40 simp1 997 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑥N𝑦N))
41 addpipqqs 7360 . . . . 5 (((𝑣N𝑢N) ∧ (𝑥N𝑦N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = [⟨((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)), (𝑢 ·N 𝑦)⟩] ~Q )
4239, 40, 41syl2anc 411 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = [⟨((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)), (𝑢 ·N 𝑦)⟩] ~Q )
43 simp2 998 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧N𝑤N))
44 addpipqqs 7360 . . . . 5 (((𝑣N𝑢N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)), (𝑢 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
4539, 43, 44syl2anc 411 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)), (𝑢 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
4642, 45breq12d 4013 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ [⟨((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)), (𝑢 ·N 𝑦)⟩] ~Q <Q [⟨((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)), (𝑢 ·N 𝑤)⟩] ~Q ))
47 ordpipqqs 7364 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
48473adant3 1017 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
49 mulclpi 7318 . . . . . 6 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
5021, 29, 49syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
51 mulclpi 7318 . . . . . 6 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
5217, 31, 51syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
53 mulclpi 7318 . . . . . 6 ((𝑢N𝑢N) → (𝑢 ·N 𝑢) ∈ N)
5420, 20, 53syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑢 ·N 𝑢) ∈ N)
55 ltmpig 7329 . . . . 5 (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧) ↔ ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑥 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑦 ·N 𝑧))))
5650, 52, 54, 55syl3anc 1238 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧) ↔ ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑥 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑦 ·N 𝑧))))
57 mulclpi 7318 . . . . . . 7 (((𝑢 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑤) ∈ N) → ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N)
5823, 36, 57syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N)
59 mulclpi 7318 . . . . . . 7 (((𝑢 ·N 𝑦) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)) ∈ N)
6026, 33, 59syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)) ∈ N)
61 mulclpi 7318 . . . . . . 7 (((𝑣 ·N 𝑦) ∈ N ∧ (𝑢 ·N 𝑤) ∈ N) → ((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N)
6219, 36, 61syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N)
63 ltapig 7328 . . . . . 6 ((((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N ∧ ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ ((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) ∈ N) → (((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)) ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤))) <N (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)))))
6458, 60, 62, 63syl3anc 1238 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)) ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤))) <N (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)))))
65 mulcompig 7321 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
6665adantl 277 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
67 mulasspig 7322 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6867adantl 277 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6920, 20, 21, 66, 68, 29, 28caov4d 6053 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑥 ·N 𝑤)) = ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)))
7020, 20, 17, 66, 68, 31, 28caov4d 6053 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)))
7169, 70breq12d 4013 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑥 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑦 ·N 𝑧)) ↔ ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧))))
72 distrpig 7323 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → (𝑓 ·N (𝑔 +N )) = ((𝑓 ·N 𝑔) +N (𝑓 ·N )))
7372adantl 277 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → (𝑓 ·N (𝑔 +N )) = ((𝑓 ·N 𝑔) +N (𝑓 ·N )))
7473, 19, 23, 36, 15, 66caovdir2d 6045 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) = (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤))))
7573, 26, 30, 33caovdid 6044 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧))) = (((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑣 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧))))
7620, 17, 16, 66, 68, 29, 28caov411d 6054 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑣 ·N 𝑤)) = ((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)))
7776oveq1d 5884 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑣 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧))) = (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧))))
7875, 77eqtrd 2210 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧))) = (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧))))
7974, 78breq12d 4013 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧))) ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑥) ·N (𝑢 ·N 𝑤))) <N (((𝑣 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) +N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N (𝑢 ·N 𝑧)))))
8064, 71, 793bitr4d 220 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑥 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑢) ·N (𝑦 ·N 𝑧)) ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)))))
8148, 56, 803bitrd 214 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (((𝑣 ·N 𝑦) +N (𝑢 ·N 𝑥)) ·N (𝑢 ·N 𝑤)) <N ((𝑢 ·N 𝑦) ·N ((𝑣 ·N 𝑤) +N (𝑢 ·N 𝑧)))))
8238, 46, 813bitr4rd 221 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) <Q ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
831, 5, 9, 13, 823ecoptocl 6618 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cop 3594   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  [cec 6527  Ncnpi 7262   +N cpli 7263   ·N cmi 7264   <N clti 7265   ~Q ceq 7269  Qcnq 7270   +Q cplq 7272   <Q cltq 7275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-ltnqqs 7343
This theorem is referenced by:  ltanqi  7392  lt2addnq  7394  ltaddnq  7397  prarloclemlt  7483  prarloclemcalc  7492  addlocprlemgt  7524  addclpr  7527  prmuloclemcalc  7555  distrlem4prl  7574  distrlem4pru  7575  ltexprlemopl  7591  ltexprlemopu  7593  ltexprlemdisj  7596  ltexprlemloc  7597  ltexprlemfl  7599  ltexprlemfu  7601  aptiprleml  7629  aptiprlemu  7630  cauappcvgprlemopl  7636  cauappcvgprlemlol  7637  cauappcvgprlemdisj  7641  cauappcvgprlemloc  7642  cauappcvgprlemladdfu  7644  cauappcvgprlemladdru  7646  cauappcvgprlemladdrl  7647  cauappcvgprlem1  7649  caucvgprlemnkj  7656  caucvgprlemnbj  7657  caucvgprlemm  7658  caucvgprlemopl  7659  caucvgprlemlol  7660  caucvgprlemloc  7665  caucvgprlemladdfu  7667  caucvgprlemladdrl  7668  caucvgprprlemml  7684  caucvgprprlemopl  7687  caucvgprprlemlol  7688
  Copyright terms: Public domain W3C validator