ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqg GIF version

Theorem ltanqg 7402
Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqg ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต)))

Proof of Theorem ltanqg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7350 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 breq1 4008 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))
3 oveq2 5886 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) = ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด))
43breq1d 4015 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )))
52, 4bibi12d 235 . 2 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )) โ†” (๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))))
6 breq2 4009 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q ๐ต))
7 oveq2 5886 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต))
87breq2d 4017 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต)))
96, 8bibi12d 235 . 2 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ((๐ด <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )) โ†” (๐ด <Q ๐ต โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต))))
10 oveq1 5885 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) = (๐ถ +Q ๐ด))
11 oveq1 5885 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต) = (๐ถ +Q ๐ต))
1210, 11breq12d 4018 . . 3 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต) โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต)))
1312bibi2d 232 . 2 ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q = ๐ถ โ†’ ((๐ด <Q ๐ต โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ด) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q ๐ต)) โ†” (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต))))
14 addclpi 7329 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ +N ๐‘”) โˆˆ N)
1514adantl 277 . . . . 5 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ +N ๐‘”) โˆˆ N)
16 simp3l 1025 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ N)
17 simp1r 1022 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ N)
18 mulclpi 7330 . . . . . 6 ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
1916, 17, 18syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
20 simp3r 1026 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ N)
21 simp1l 1021 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ N)
22 mulclpi 7330 . . . . . 6 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฅ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) โˆˆ N)
2320, 21, 22syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) โˆˆ N)
2415, 19, 23caovcld 6031 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) โˆˆ N)
25 mulclpi 7330 . . . . 5 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
2620, 17, 25syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
27 mulclpi 7330 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
2827adantl 277 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
29 simp2r 1024 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ N)
3028, 16, 29caovcld 6031 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
31 simp2l 1023 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ N)
32 mulclpi 7330 . . . . . 6 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
3320, 31, 32syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
3415, 30, 33caovcld 6031 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
35 mulclpi 7330 . . . . 5 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
3620, 29, 35syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
37 ordpipqqs 7376 . . . 4 (((((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N) โˆง (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
3824, 26, 34, 36, 37syl22anc 1239 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
39 simp3 999 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N))
40 simp1 997 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N))
41 addpipqqs 7372 . . . . 5 (((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q )
4239, 40, 41syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q )
43 simp2 998 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N))
44 addpipqqs 7372 . . . . 5 (((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
4539, 43, 44syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
4642, 45breq12d 4018 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)), (๐‘ข ยทN ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)), (๐‘ข ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q ))
47 ordpipqqs 7376 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
48473adant3 1017 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)))
49 mulclpi 7330 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
5021, 29, 49syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
51 mulclpi 7330 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
5217, 31, 51syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
53 mulclpi 7330 . . . . . 6 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
5420, 20, 53syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ข ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
55 ltmpig 7341 . . . . 5 (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โ†” ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))))
5650, 52, 54, 55syl3anc 1238 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โ†” ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))))
57 mulclpi 7330 . . . . . . 7 (((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N)
5823, 36, 57syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N)
59 mulclpi 7330 . . . . . . 7 (((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ง) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
6026, 33, 59syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
61 mulclpi 7330 . . . . . . 7 (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N โˆง (๐‘ข ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N)
6219, 36, 61syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N)
63 ltapig 7340 . . . . . 6 ((((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N โˆง ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) โˆˆ N) โ†’ (((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค))) <N (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
6458, 60, 62, 63syl3anc 1238 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)) โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค))) <N (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
65 mulcompig 7333 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
6665adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
67 mulasspig 7334 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
6867adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
6920, 20, 21, 66, 68, 29, 28caov4d 6062 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) = ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)))
7020, 20, 17, 66, 68, 31, 28caov4d 6062 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) = ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))
7169, 70breq12d 4018 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โ†” ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง))))
72 distrpig 7335 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN (๐‘” +N โ„Ž)) = ((๐‘“ ยทN ๐‘”) +N (๐‘“ ยทN โ„Ž)))
7372adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN (๐‘” +N โ„Ž)) = ((๐‘“ ยทN ๐‘”) +N (๐‘“ ยทN โ„Ž)))
7473, 19, 23, 36, 15, 66caovdir2d 6054 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) = (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค))))
7573, 26, 30, 33caovdid 6053 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง))) = (((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง))))
7620, 17, 16, 66, 68, 29, 28caov411d 6063 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)))
7776oveq1d 5893 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ฃ ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง))) = (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง))))
7875, 77eqtrd 2210 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง))) = (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง))))
7974, 78breq12d 4018 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง))) โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค))) <N (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) +N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
8064, 71, 793bitr4d 220 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ข) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
8148, 56, 803bitrd 214 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (((๐‘ฃ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ฅ)) ยทN (๐‘ข ยทN ๐‘ค)) <N ((๐‘ข ยทN ๐‘ฆ) ยทN ((๐‘ฃ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ข ยทN ๐‘ง)))))
8238, 46, 813bitr4rd 221 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ) <Q ([โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )))
831, 5, 9, 13, 823ecoptocl 6627 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3597   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  [cec 6536  Ncnpi 7274   +N cpli 7275   ยทN cmi 7276   <N clti 7277   ~Q ceq 7281  Qcnq 7282   +Q cplq 7284   <Q cltq 7287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-pli 7307  df-mi 7308  df-lti 7309  df-plpq 7346  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-plqqs 7351  df-ltnqqs 7355
This theorem is referenced by:  ltanqi  7404  lt2addnq  7406  ltaddnq  7409  prarloclemlt  7495  prarloclemcalc  7504  addlocprlemgt  7536  addclpr  7539  prmuloclemcalc  7567  distrlem4prl  7586  distrlem4pru  7587  ltexprlemopl  7603  ltexprlemopu  7605  ltexprlemdisj  7608  ltexprlemloc  7609  ltexprlemfl  7611  ltexprlemfu  7613  aptiprleml  7641  aptiprlemu  7642  cauappcvgprlemopl  7648  cauappcvgprlemlol  7649  cauappcvgprlemdisj  7653  cauappcvgprlemloc  7654  cauappcvgprlemladdfu  7656  cauappcvgprlemladdru  7658  cauappcvgprlemladdrl  7659  cauappcvgprlem1  7661  caucvgprlemnkj  7668  caucvgprlemnbj  7669  caucvgprlemm  7670  caucvgprlemopl  7671  caucvgprlemlol  7672  caucvgprlemloc  7677  caucvgprlemladdfu  7679  caucvgprlemladdrl  7680  caucvgprprlemml  7696  caucvgprprlemopl  7699  caucvgprprlemlol  7700
  Copyright terms: Public domain W3C validator