ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsmulc GIF version

Theorem dvdsmulc 11839
Description: Multiplication by a constant maintains the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmulc ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐พ)))

Proof of Theorem dvdsmulc
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 997 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
2 zmulcl 9319 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
323adant2 1017 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
4 zmulcl 9319 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
543adant1 1016 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
63, 5jca 306 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค))
763comr 1212 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค))
8 simpr 110 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
9 zcn 9271 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
10 zcn 9271 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
11 zcn 9271 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
12 mulass 7955 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)))
139, 10, 11, 12syl3an 1290 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)))
14133com13 1209 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)))
15143expa 1204 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)))
16153adantl3 1156 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)))
17 oveq1 5895 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ ยท ๐พ))
1816, 17sylan9req 2241 . . . 4 ((((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)) = (๐‘ ยท ๐พ))
1918ex 115 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)) = (๐‘ ยท ๐พ)))
201, 7, 8, 19dvds1lem 11822 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐พ)))
21203coml 1211 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐พ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822   ยท cmul 7829  โ„คcz 9266   โˆฅ cdvds 11807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-dvds 11808
This theorem is referenced by:  dvdsmulcr  11841  coprmdvds2  12106  mulgcddvds  12107  rpmulgcd2  12108  pcpremul  12306
  Copyright terms: Public domain W3C validator