ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsmulc GIF version

Theorem dvdsmulc 11844
Description: Multiplication by a constant maintains the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmulc ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐พ)))

Proof of Theorem dvdsmulc
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 998 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
2 zmulcl 9324 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
323adant2 1018 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
4 zmulcl 9324 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
543adant1 1017 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
63, 5jca 306 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค))
763comr 1213 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค))
8 simpr 110 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
9 zcn 9276 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
10 zcn 9276 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
11 zcn 9276 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
12 mulass 7960 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)))
139, 10, 11, 12syl3an 1291 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)))
14133com13 1210 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)))
15143expa 1205 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)))
16153adantl3 1157 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)))
17 oveq1 5898 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) ยท ๐พ) = (๐‘ ยท ๐พ))
1816, 17sylan9req 2243 . . . 4 ((((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)) = (๐‘ ยท ๐พ))
1918ex 115 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘€ ยท ๐พ)) = (๐‘ ยท ๐พ)))
201, 7, 8, 19dvds1lem 11827 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐พ)))
21203coml 1212 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐พ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 980   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7827   ยท cmul 7834  โ„คcz 9271   โˆฅ cdvds 11812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-dvds 11813
This theorem is referenced by:  dvdsmulcr  11846  coprmdvds2  12111  mulgcddvds  12112  rpmulgcd2  12113  pcpremul  12311
  Copyright terms: Public domain W3C validator