Theorem dvdsmulc 11867

Description: Multiplication by a constant maintains the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulc	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾)))

Proof of Theorem dvdsmulc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 998	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2		zmulcl 9341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ)
3	2	3adant2 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ)
4		zmulcl 9341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
5	4	3adant1 1017	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ))
7	6	3comr 1213	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ))
8		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
9		zcn 9293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
10		zcn 9293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
11		zcn 9293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
12		mulass 7977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
13	9, 10, 11, 12	syl3an 1291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
14	13	3com13 1210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
15	14	3expa 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
16	15	3adantl3 1157	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
17		oveq1 5907	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑁 · 𝐾))
18	16, 17	sylan9req 2243	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾))
19	18	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾)))
20	1, 7, 8, 19	dvds1lem 11850	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾)))
21	20	3coml 1212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900  ℂcc 7844   · cmul 7851  ℤcz 9288   ∥ cdvds 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-sub 8165  df-neg 8166  df-inn 8955  df-n0 9212  df-z 9289  df-dvds 11836

This theorem is referenced by:  dvdsmulcr  11869  coprmdvds2  12136  mulgcddvds  12137  rpmulgcd2  12138  pcpremul  12336