Theorem dvdsnegb 11744

Description: An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsnegb	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ -𝑁))

Proof of Theorem dvdsnegb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2		znegcl 9218	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
3	2	anim2i 340	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ))
4		znegcl 9218	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5	4	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
6		zcn 9192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		zcn 9192	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		mulneg1 8289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (-𝑥 · 𝑀) = -(𝑥 · 𝑀))
9		negeq 8087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → -(𝑥 · 𝑀) = -𝑁)
10	9	eqeq2d 2177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑀) = -(𝑥 · 𝑀) ↔ (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
11	8, 10	syl5ibcom 154	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
12	6, 7, 11	syl2anr 288	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
13	12	adantlr 469	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
14	1, 3, 5, 13	dvds1lem 11738	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ -𝑁))
15		zcn 9192	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16		negeq 8087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → -(𝑥 · 𝑀) = --𝑁)
17		negneg 8144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
18	16, 17	sylan9eqr 2220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑀) = -𝑁) → -(𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
19	8, 18	sylan9eq 2218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑀) = -𝑁)) → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
20	19	expr 373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
21	20	3impa 1184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
22	6, 7, 15, 21	syl3an 1270	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
23	22	3coml 1200	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
24	23	3expa 1193	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
25	3, 1, 5, 24	dvds1lem 11738	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ -𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
26	14, 25	impbid 128	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ -𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841  ℂcc 7747   · cmul 7754  -cneg 8066  ℤcz 9187   ∥ cdvds 11723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-z 9188  df-dvds 11724

This theorem is referenced by:  dvdsabsb  11746  dvdssub  11774  dvdsadd2b  11776  gcdneg  11911  bezoutlemaz  11932  bezoutlembz  11933  prmdiv  12163  pcneg  12252