ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsnegb GIF version

Theorem dvdsnegb 11817
Description: An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsnegb ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))

Proof of Theorem dvdsnegb
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
2 znegcl 9286 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
32anim2i 342 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค))
4 znegcl 9286 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
54adantl 277 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
6 zcn 9260 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7 zcn 9260 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
8 mulneg1 8354 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -(๐‘ฅ ยท ๐‘€))
9 negeq 8152 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘)
109eqeq2d 2189 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ((-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) โ†” (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
118, 10syl5ibcom 155 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
126, 7, 11syl2anr 290 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
1312adantlr 477 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
141, 3, 5, 13dvds1lem 11811 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
15 zcn 9260 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
16 negeq 8152 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = --๐‘)
17 negneg 8209 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ --๐‘ = ๐‘)
1816, 17sylan9eqr 2232 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘) โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
198, 18sylan9eq 2230 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘)) โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
2019expr 375 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
21203impa 1194 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
226, 7, 15, 21syl3an 1280 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
23223coml 1210 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
24233expa 1203 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
253, 1, 5, 24dvds1lem 11811 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ -๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
2614, 25impbid 129 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811   ยท cmul 7818  -cneg 8131  โ„คcz 9255   โˆฅ cdvds 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-z 9256  df-dvds 11797
This theorem is referenced by:  dvdsabsb  11819  dvdssub  11847  dvdsadd2b  11849  gcdneg  11985  bezoutlemaz  12006  bezoutlembz  12007  prmdiv  12237  pcneg  12326
  Copyright terms: Public domain W3C validator