ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsnegb GIF version

Theorem dvdsnegb 11810
Description: An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsnegb ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ -𝑁))

Proof of Theorem dvdsnegb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2 znegcl 9282 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
32anim2i 342 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ))
4 znegcl 9282 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
54adantl 277 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
6 zcn 9256 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7 zcn 9256 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8 mulneg1 8350 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (-𝑥 · 𝑀) = -(𝑥 · 𝑀))
9 negeq 8148 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → -(𝑥 · 𝑀) = -𝑁)
109eqeq2d 2189 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑀) = -(𝑥 · 𝑀) ↔ (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
118, 10syl5ibcom 155 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
126, 7, 11syl2anr 290 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
1312adantlr 477 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
141, 3, 5, 13dvds1lem 11804 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ -𝑁))
15 zcn 9256 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16 negeq 8148 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → -(𝑥 · 𝑀) = --𝑁)
17 negneg 8205 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
1816, 17sylan9eqr 2232 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑀) = -𝑁) → -(𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
198, 18sylan9eq 2230 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑀) = -𝑁)) → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
2019expr 375 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
21203impa 1194 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
226, 7, 15, 21syl3an 1280 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
23223coml 1210 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
24233expa 1203 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
253, 1, 5, 24dvds1lem 11804 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ -𝑁𝑀𝑁))
2614, 25impbid 129 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ -𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cc 7808   · cmul 7815  -cneg 8127  cz 9251  cdvds 11789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-z 9252  df-dvds 11790
This theorem is referenced by:  dvdsabsb  11812  dvdssub  11840  dvdsadd2b  11842  gcdneg  11977  bezoutlemaz  11998  bezoutlembz  11999  prmdiv  12229  pcneg  12318
  Copyright terms: Public domain W3C validator