Theorem dvdsmulcr 12381

Description: Cancellation law for the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulcr	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmulcr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp3l 1051	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	zmulcld 9607	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ)
4		simp2 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4, 2	zmulcld 9607	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ))
7		3simpa 1020	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	1	zcnd 9602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
12	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 9602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
14	9, 11, 13	mulassd 8202	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
15	14	eqeq1d 2240	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾)))
16	9, 11	mulcld 8199	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℂ)
17	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 9602	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
19		simpl3r 1079	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐾 ≠ 0)
20		0z 9489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		zapne 9553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐾 # 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
22	20, 21	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 # 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
23	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 # 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
24	23	3ad2ant3 1046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝐾 # 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 # 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
26	19, 25	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐾 # 0)
27	16, 18, 13, 26	mulcanap2d 8841	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
28	15, 27	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
29	28	biimpd 144	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) → (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
30	6, 7, 8, 29	dvds1lem 12362	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) → 𝑀 ∥ 𝑁))
31		dvdsmulc 12379	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾)))
32	31	3adant3r 1261	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾)))
33	30, 32	impbid 129	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031   · cmul 8036   # cap 8760  ℤcz 9478   ∥ cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  mulgcddvds  12665  prmpwdvds  12927  4sqlem10  12959