Theorem dvdsmulcr 11523

Description: Cancellation law for the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulcr	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmulcr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 981	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp3l 1009	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	zmulcld 9179	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ)
4		simp2 982	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4, 2	zmulcld 9179	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 304	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ))
7		3simpa 978	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8		simpr 109	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	1	zcnd 9174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
11	10	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
12	2	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 9174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
14	9, 11, 13	mulassd 7789	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
15	14	eqeq1d 2148	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾)))
16	9, 11	mulcld 7786	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℂ)
17	4	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 9174	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
19		simpl3r 1037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐾 ≠ 0)
20		0z 9065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		zapne 9125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐾 # 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
22	20, 21	mpan2 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 # 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
23	22	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 # 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
24	23	3ad2ant3 1004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝐾 # 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
25	24	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 # 0 ↔ 𝐾 ≠ 0))
26	19, 25	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐾 # 0)
27	16, 18, 13, 26	mulcanap2d 8423	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
28	15, 27	bitr3d 189	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
29	28	biimpd 143	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) → (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
30	6, 7, 8, 29	dvds1lem 11504	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) → 𝑀 ∥ 𝑁))
31		dvdsmulc 11521	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾)))
32	31	3adant3r 1213	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾)))
33	30, 32	impbid 128	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620   · cmul 7625   # cap 8343  ℤcz 9054   ∥ cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-dvds 11494

This theorem is referenced by:  mulgcddvds  11775