Theorem omex 4742

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	⊢ ω ∈ V

Proof of Theorem omex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4738	. . 3 ⊢ ∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
2		intexabim 4290	. . 3 ⊢ (∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V
4		dfom3 4741	. . 3 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
5	4	eleq1i 2304	. 2 ⊢ (ω ∈ V ↔ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
6	3, 5	mpbir 146	1 ⊢ ω ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ∩ cint 3970  suc csuc 4512  ωcom 4739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-int 3971  df-iom 4740

This theorem is used by:  peano5  4747  omelon  4758  frecex  6670  frecabex  6674  fict  7176  infnfi  7205  ominf  7206  inffiexmid  7219  omp1eom  7441  difinfsn  7446  0ct  7453  ctmlemr  7454  ctssdclemn0  7456  ctssdclemr  7458  ctssdc  7459  enumct  7461  omct  7463  ctfoex  7464  nninfex  7467  infnninf  7470  infnninfOLD  7471  nnnninf  7472  exmidlpo  7489  nninfdcinf  7517  nninfwlporlem  7519  nninfwlpoimlemg  7521  nninfwlpoim  7525  nninfinfwlpo  7526  cc2lem  7638  acnccim  7644  niex  7685  enq0ex  7812  nq0ex  7813  uzenom  10882  frecfzennn  10883  nnenom  10891  fxnn0nninf  10896  0tonninf  10897  1tonninf  10898  inftonninf  10899  nninfinf  10900  hashinfuni  11237  hashinfom  11238  nninfctlemfo  12841  nninfct  12842  xpct  13344  ennnfonelemj0  13349  ennnfonelemg  13351  ennnfonelemen  13369  ctiunct  13388  omctfn  13391  ssomct  13393  bj-charfunbi  17059  subctctexmid  17252  0nninf  17270  nnsf  17271  peano4nninf  17272  peano3nninf  17273  nninfself  17279  nninfsellemeq  17280  nninfsellemeqinf  17282  sbthom  17294