Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omex GIF version

Theorem omex 4514
 Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
omex ω ∈ V

Proof of Theorem omex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfinf2 4510 . . 3 𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)
2 intexabim 4084 . . 3 (∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ∈ V)
31, 2ax-mp 5 . 2 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ∈ V
4 dfom3 4513 . . 3 ω = {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}
54eleq1i 2206 . 2 (ω ∈ V ↔ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ∈ V)
63, 5mpbir 145 1 ω ∈ V
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  {cab 2126  ∀wral 2417  Vcvv 2689  ∅c0 3367  ∩ cint 3778  suc csuc 4294  ωcom 4511 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-iinf 4509 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-in 3081  df-ss 3088  df-int 3779  df-iom 4512 This theorem is referenced by:  peano5  4519  omelon  4529  frecex  6298  frecabex  6302  fict  6769  infnfi  6796  ominf  6797  inffiexmid  6807  omp1eom  6987  difinfsn  6992  0ct  6999  ctmlemr  7000  ctssdclemn0  7002  ctssdclemr  7004  ctssdc  7005  enumct  7007  omct  7009  ctfoex  7010  exmidlpo  7022  infnninf  7029  nnnninf  7030  cc2lem  7097  niex  7143  enq0ex  7270  nq0ex  7271  uzenom  10228  frecfzennn  10229  nnenom  10237  fxnn0nninf  10241  0tonninf  10242  1tonninf  10243  inftonninf  10244  hashinfuni  10554  hashinfom  10555  xpct  11943  ennnfonelemj0  11948  ennnfonelemg  11950  ennnfonelemen  11968  ctiunct  11987  omctfn  11990  subctctexmid  13367  0nninf  13370  nnsf  13372  peano4nninf  13373  peano3nninf  13374  nninfex  13378  nninfself  13382  nninfsellemeq  13383  nninfsellemeqinf  13385  sbthom  13394
 Copyright terms: Public domain W3C validator