ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omex GIF version

Theorem omex 4379
Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
omex ω ∈ V

Proof of Theorem omex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfinf2 4375 . . 3 𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)
2 intexabim 3961 . . 3 (∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ∈ V)
31, 2ax-mp 7 . 2 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ∈ V
4 dfom3 4378 . . 3 ω = {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}
54eleq1i 2150 . 2 (ω ∈ V ↔ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ∈ V)
63, 5mpbir 144 1 ω ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wex 1424  wcel 1436  {cab 2071  wral 2355  Vcvv 2615  c0 3275   cint 3670  suc csuc 4164  ωcom 4376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3930  ax-iinf 4374
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-v 2617  df-in 2994  df-ss 3001  df-int 3671  df-iom 4377
This theorem is referenced by:  peano5  4384  omelon  4394  frecex  6106  frecabex  6110  fict  6529  infnfi  6556  ominf  6557  inffiexmid  6567  infnninf  6741  nnnninf  6742  niex  6807  enq0ex  6934  nq0ex  6935  uzenom  9752  frecfzennn  9753  nnenom  9761  fxnn0nninf  9764  0tonninf  9765  1tonninf  9766  inftonninf  9767  hashinfuni  10073  hashinfom  10074  xpct  11075  0nninf  11322  nnsf  11324  peano4nninf  11325  peano3nninf  11326  nninfex  11330  nninfself  11334  nninfsellemeq  11335  nninfsellemeqinf  11337
  Copyright terms: Public domain W3C validator