Theorem omex 4685

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	⊢ ω ∈ V

Proof of Theorem omex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4681	. . 3 ⊢ ∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
2		intexabim 4236	. . 3 ⊢ (∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V
4		dfom3 4684	. . 3 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
5	4	eleq1i 2295	. 2 ⊢ (ω ∈ V ↔ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
6	3, 5	mpbir 146	1 ⊢ ω ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 104  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  Vcvv 2799  ∅c0 3491  ∩ cint 3923  suc csuc 4456  ωcom 4682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-int 3924  df-iom 4683

This theorem is referenced by:  peano5  4690  omelon  4701  frecex  6546  frecabex  6550  fict  7038  infnfi  7065  ominf  7066  inffiexmid  7079  omp1eom  7273  difinfsn  7278  0ct  7285  ctmlemr  7286  ctssdclemn0  7288  ctssdclemr  7290  ctssdc  7291  enumct  7293  omct  7295  ctfoex  7296  nninfex  7299  infnninf  7302  infnninfOLD  7303  nnnninf  7304  exmidlpo  7321  nninfdcinf  7349  nninfwlporlem  7351  nninfwlpoimlemg  7353  nninfwlpoim  7357  nninfinfwlpo  7358  cc2lem  7463  acnccim  7469  niex  7510  enq0ex  7637  nq0ex  7638  uzenom  10659  frecfzennn  10660  nnenom  10668  fxnn0nninf  10673  0tonninf  10674  1tonninf  10675  inftonninf  10676  nninfinf  10677  hashinfuni  11011  hashinfom  11012  nninfctlemfo  12576  nninfct  12577  xpct  12982  ennnfonelemj0  12987  ennnfonelemg  12989  ennnfonelemen  13007  ctiunct  13026  omctfn  13029  ssomct  13031  bj-charfunbi  16229  subctctexmid  16425  0nninf  16430  nnsf  16431  peano4nninf  16432  peano3nninf  16433  nninfself  16439  nninfsellemeq  16440  nninfsellemeqinf  16442  sbthom  16454