Theorem omex 4592

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	⊢ ω ∈ V

Proof of Theorem omex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4588	. . 3 ⊢ ∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
2		intexabim 4152	. . 3 ⊢ (∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V
4		dfom3 4591	. . 3 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
5	4	eleq1i 2243	. 2 ⊢ (ω ∈ V ↔ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
6	3, 5	mpbir 146	1 ⊢ ω ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 104  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  {cab 2163  ∀wral 2455  Vcvv 2737  ∅c0 3422  ∩ cint 3844  suc csuc 4365  ωcom 4589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142  df-int 3845  df-iom 4590

This theorem is referenced by:  peano5  4597  omelon  4608  frecex  6394  frecabex  6398  fict  6867  infnfi  6894  ominf  6895  inffiexmid  6905  omp1eom  7093  difinfsn  7098  0ct  7105  ctmlemr  7106  ctssdclemn0  7108  ctssdclemr  7110  ctssdc  7111  enumct  7113  omct  7115  ctfoex  7116  nninfex  7119  infnninf  7121  infnninfOLD  7122  nnnninf  7123  exmidlpo  7140  nninfdcinf  7168  nninfwlporlem  7170  nninfwlpoimlemg  7172  nninfwlpoim  7175  cc2lem  7264  niex  7310  enq0ex  7437  nq0ex  7438  uzenom  10424  frecfzennn  10425  nnenom  10433  fxnn0nninf  10437  0tonninf  10438  1tonninf  10439  inftonninf  10440  hashinfuni  10756  hashinfom  10757  xpct  12396  ennnfonelemj0  12401  ennnfonelemg  12403  ennnfonelemen  12421  ctiunct  12440  omctfn  12443  ssomct  12445  bj-charfunbi  14533  subctctexmid  14720  0nninf  14723  nnsf  14724  peano4nninf  14725  peano3nninf  14726  nninfself  14732  nninfsellemeq  14733  nninfsellemeqinf  14735  sbthom  14744