Theorem omex 4445

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	⊢ ω ∈ V

Proof of Theorem omex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4441	. . 3 ⊢ ∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
2		intexabim 4017	. . 3 ⊢ (∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 ⊢ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V
4		dfom3 4444	. . 3 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
5	4	eleq1i 2165	. 2 ⊢ (ω ∈ V ↔ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
6	3, 5	mpbir 145	1 ⊢ ω ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 103  ∃wex 1436   ∈ wcel 1448  {cab 2086  ∀wral 2375  Vcvv 2641  ∅c0 3310  ∩ cint 3718  suc csuc 4225  ωcom 4442

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-v 2643  df-in 3027  df-ss 3034  df-int 3719  df-iom 4443

This theorem is referenced by:  peano5  4450  omelon  4460  frecex  6221  frecabex  6225  fict  6691  infnfi  6718  ominf  6719  inffiexmid  6729  omp1eom  6895  difinfsn  6900  0ct  6907  ctmlemr  6908  ctssdclemn0  6910  ctssdclemr  6911  ctssdc  6912  enumct  6914  exmidlpo  6927  infnninf  6934  nnnninf  6935  niex  7021  enq0ex  7148  nq0ex  7149  uzenom  10039  frecfzennn  10040  nnenom  10048  fxnn0nninf  10052  0tonninf  10053  1tonninf  10054  inftonninf  10055  hashinfuni  10364  hashinfom  10365  xpct  11701  ennnfonelemj0  11706  ennnfonelemg  11708  ennnfonelemen  11726  0nninf  12781  nnsf  12783  peano4nninf  12784  peano3nninf  12785  nninfex  12789  nninfself  12793  nninfsellemeq  12794  nninfsellemeqinf  12796  sbthom  12805