Theorem omex 4593

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	⊢ ω ∈ V

Proof of Theorem omex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4589	. . 3 ⊢ ∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
2		intexabim 4153	. . 3 ⊢ (∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V
4		dfom3 4592	. . 3 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
5	4	eleq1i 2243	. 2 ⊢ (ω ∈ V ↔ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
6	3, 5	mpbir 146	1 ⊢ ω ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 104  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  {cab 2163  ∀wral 2455  Vcvv 2738  ∅c0 3423  ∩ cint 3845  suc csuc 4366  ωcom 4590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2740  df-in 3136  df-ss 3143  df-int 3846  df-iom 4591

This theorem is referenced by:  peano5  4598  omelon  4609  frecex  6395  frecabex  6399  fict  6868  infnfi  6895  ominf  6896  inffiexmid  6906  omp1eom  7094  difinfsn  7099  0ct  7106  ctmlemr  7107  ctssdclemn0  7109  ctssdclemr  7111  ctssdc  7112  enumct  7114  omct  7116  ctfoex  7117  nninfex  7120  infnninf  7122  infnninfOLD  7123  nnnninf  7124  exmidlpo  7141  nninfdcinf  7169  nninfwlporlem  7171  nninfwlpoimlemg  7173  nninfwlpoim  7176  cc2lem  7265  niex  7311  enq0ex  7438  nq0ex  7439  uzenom  10425  frecfzennn  10426  nnenom  10434  fxnn0nninf  10438  0tonninf  10439  1tonninf  10440  inftonninf  10441  hashinfuni  10757  hashinfom  10758  xpct  12397  ennnfonelemj0  12402  ennnfonelemg  12404  ennnfonelemen  12422  ctiunct  12441  omctfn  12444  ssomct  12446  bj-charfunbi  14566  subctctexmid  14753  0nninf  14756  nnsf  14757  peano4nninf  14758  peano3nninf  14759  nninfself  14765  nninfsellemeq  14766  nninfsellemeqinf  14768  sbthom  14777