Theorem omex 4626

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	⊢ ω ∈ V

Proof of Theorem omex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4622	. . 3 ⊢ ∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
2		intexabim 4182	. . 3 ⊢ (∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V
4		dfom3 4625	. . 3 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
5	4	eleq1i 2259	. 2 ⊢ (ω ∈ V ↔ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
6	3, 5	mpbir 146	1 ⊢ ω ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 104  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∀wral 2472  Vcvv 2760  ∅c0 3447  ∩ cint 3871  suc csuc 4397  ωcom 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-in 3160  df-ss 3167  df-int 3872  df-iom 4624

This theorem is referenced by:  peano5  4631  omelon  4642  frecex  6449  frecabex  6453  fict  6926  infnfi  6953  ominf  6954  inffiexmid  6964  omp1eom  7156  difinfsn  7161  0ct  7168  ctmlemr  7169  ctssdclemn0  7171  ctssdclemr  7173  ctssdc  7174  enumct  7176  omct  7178  ctfoex  7179  nninfex  7182  infnninf  7185  infnninfOLD  7186  nnnninf  7187  exmidlpo  7204  nninfdcinf  7232  nninfwlporlem  7234  nninfwlpoimlemg  7236  nninfwlpoim  7239  cc2lem  7328  niex  7374  enq0ex  7501  nq0ex  7502  uzenom  10499  frecfzennn  10500  nnenom  10508  fxnn0nninf  10513  0tonninf  10514  1tonninf  10515  inftonninf  10516  nninfinf  10517  hashinfuni  10851  hashinfom  10852  nninfctlemfo  12180  nninfct  12181  xpct  12556  ennnfonelemj0  12561  ennnfonelemg  12563  ennnfonelemen  12581  ctiunct  12600  omctfn  12603  ssomct  12605  bj-charfunbi  15373  subctctexmid  15561  0nninf  15564  nnsf  15565  peano4nninf  15566  peano3nninf  15567  nninfself  15573  nninfsellemeq  15574  nninfsellemeqinf  15576  sbthom  15586