Theorem omex 4697

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	⊢ ω ∈ V

Proof of Theorem omex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4693	. . 3 ⊢ ∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
2		intexabim 4247	. . 3 ⊢ (∃𝑦(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V
4		dfom3 4696	. . 3 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
5	4	eleq1i 2297	. 2 ⊢ (ω ∈ V ↔ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ∈ V)
6	3, 5	mpbir 146	1 ⊢ ω ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 104  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ∀wral 2511  Vcvv 2803  ∅c0 3496  ∩ cint 3933  suc csuc 4468  ωcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805  df-in 3207  df-ss 3214  df-int 3934  df-iom 4695

This theorem is referenced by:  peano5  4702  omelon  4713  frecex  6603  frecabex  6607  fict  7098  infnfi  7127  ominf  7128  inffiexmid  7141  omp1eom  7337  difinfsn  7342  0ct  7349  ctmlemr  7350  ctssdclemn0  7352  ctssdclemr  7354  ctssdc  7355  enumct  7357  omct  7359  ctfoex  7360  nninfex  7363  infnninf  7366  infnninfOLD  7367  nnnninf  7368  exmidlpo  7385  nninfdcinf  7413  nninfwlporlem  7415  nninfwlpoimlemg  7417  nninfwlpoim  7421  nninfinfwlpo  7422  cc2lem  7528  acnccim  7534  niex  7575  enq0ex  7702  nq0ex  7703  uzenom  10733  frecfzennn  10734  nnenom  10742  fxnn0nninf  10747  0tonninf  10748  1tonninf  10749  inftonninf  10750  nninfinf  10751  hashinfuni  11085  hashinfom  11086  nninfctlemfo  12674  nninfct  12675  xpct  13080  ennnfonelemj0  13085  ennnfonelemg  13087  ennnfonelemen  13105  ctiunct  13124  omctfn  13127  ssomct  13129  bj-charfunbi  16510  subctctexmid  16705  0nninf  16713  nnsf  16714  peano4nninf  16715  peano3nninf  16716  nninfself  16722  nninfsellemeq  16723  nninfsellemeqinf  16725  sbthom  16737