ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclnq0 GIF version

Theorem mulclnq0 7464
Description: Closure of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulclnq0 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) โˆˆ Q0)

Proof of Theorem mulclnq0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7437 . . 3 Q0 = ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )
2 oveq1 5895 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = (๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
32eleq1d 2256 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โ†” (๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )))
4 oveq2 5896 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ๐ต โ†’ (๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = (๐ด ยทQ0 ๐ต))
54eleq1d 2256 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โ†” (๐ด ยทQ0 ๐ต) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )))
6 mulnnnq0 7462 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 )
7 nnmcl 6495 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰)
8 mulpiord 7329 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค))
9 mulclpi 7340 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
108, 9eqeltrrd 2265 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N)
117, 10anim12i 338 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N))
1211an4s 588 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N))
13 opelxpi 4670 . . . . 5 (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (ฯ‰ ร— N))
14 enq0ex 7451 . . . . . 6 ~Q0 โˆˆ V
1514ecelqsi 6602 . . . . 5 (โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†’ [โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
1612, 13, 153syl 17 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
176, 16eqeltrd 2264 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
181, 3, 5, 172ecoptocl 6636 . 2 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
1918, 1eleqtrrdi 2281 1 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) โˆˆ Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โŸจcop 3607  ฯ‰com 4601   ร— cxp 4636  (class class class)co 5888   ยทo comu 6428  [cec 6546   / cqs 6547  Ncnpi 7284   ยทN cmi 7286   ~Q0 ceq0 7298  Q0cnq0 7299   ยทQ0 cmq0 7302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-mi 7318  df-enq0 7436  df-nq0 7437  df-mq0 7440
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7514
  Copyright terms: Public domain W3C validator