Theorem mulclnq0 7260

Description: Closure of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ Q0)

Proof of Theorem mulclnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7233	. . 3 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq1 5781	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
3	2	eleq1d 2208	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
4		oveq2 5782	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐵))
5	4	eleq1d 2208	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
6		mulnnnq0 7258	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
7		nnmcl 6377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω)
8		mulpiord 7125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑤))
9		mulclpi 7136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
10	8, 9	eqeltrrd 2217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
11	7, 10	anim12i 336	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
12	11	an4s 577	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
13		opelxpi 4571	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) → ⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (ω × N))
14		enq0ex 7247	. . . . . 6 ⊢ ~Q0 ∈ V
15	14	ecelqsi 6483	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (ω × N) → [⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
16	12, 13, 15	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
17	6, 16	eqeltrd 2216	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
18	1, 3, 5, 17	2ecoptocl 6517	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
19	18, 1	eleqtrrdi 2233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ Q0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ⟨cop 3530  ωcom 4504   × cxp 4537  (class class class)co 5774   ·_o comu 6311  [cec 6427   / cqs 6428  Ncnpi 7080   ·_N cmi 7082   ~_Q0 ceq0 7094  Q₀cnq0 7095   ·_Q0 cmq0 7098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-mi 7114  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-mq0 7236

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7310