ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclnq0 GIF version

Theorem mulclnq0 7469
Description: Closure of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulclnq0 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) โˆˆ Q0)

Proof of Theorem mulclnq0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7442 . . 3 Q0 = ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )
2 oveq1 5898 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = (๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
32eleq1d 2258 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โ†” (๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )))
4 oveq2 5899 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ๐ต โ†’ (๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = (๐ด ยทQ0 ๐ต))
54eleq1d 2258 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โ†” (๐ด ยทQ0 ๐ต) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )))
6 mulnnnq0 7467 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 )
7 nnmcl 6500 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰)
8 mulpiord 7334 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค))
9 mulclpi 7345 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
108, 9eqeltrrd 2267 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N)
117, 10anim12i 338 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N))
1211an4s 588 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N))
13 opelxpi 4673 . . . . 5 (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (ฯ‰ ร— N))
14 enq0ex 7456 . . . . . 6 ~Q0 โˆˆ V
1514ecelqsi 6607 . . . . 5 (โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†’ [โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
1612, 13, 153syl 17 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
176, 16eqeltrd 2266 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
181, 3, 5, 172ecoptocl 6641 . 2 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
1918, 1eleqtrrdi 2283 1 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) โˆˆ Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  โŸจcop 3610  ฯ‰com 4604   ร— cxp 4639  (class class class)co 5891   ยทo comu 6433  [cec 6551   / cqs 6552  Ncnpi 7289   ยทN cmi 7291   ~Q0 ceq0 7303  Q0cnq0 7304   ยทQ0 cmq0 7307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7321  df-mi 7323  df-enq0 7441  df-nq0 7442  df-mq0 7445
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7519
  Copyright terms: Public domain W3C validator