ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclnq0 GIF version

Theorem mulclnq0 6990
Description: Closure of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulclnq0 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ Q0)

Proof of Theorem mulclnq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6963 . . 3 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5641 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
32eleq1d 2156 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
4 oveq2 5642 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐵))
54eleq1d 2156 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
6 mulnnnq0 6988 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
7 nnmcl 6224 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑥 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
8 mulpiord 6855 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·𝑜 𝑤))
9 mulclpi 6866 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
108, 9eqeltrrd 2165 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
117, 10anim12i 331 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝑦N𝑤N)) → ((𝑥 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N))
1211an4s 555 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑥 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N))
13 opelxpi 4459 . . . . 5 (((𝑥 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (ω × N))
14 enq0ex 6977 . . . . . 6 ~Q0 ∈ V
1514ecelqsi 6326 . . . . 5 (⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (ω × N) → [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
1612, 13, 153syl 17 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
176, 16eqeltrd 2164 . . 3 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
181, 3, 5, 172ecoptocl 6360 . 2 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
1918, 1syl6eleqr 2181 1 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) ∈ Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  cop 3444  ωcom 4395   × cxp 4426  (class class class)co 5634   ·𝑜 comu 6161  [cec 6270   / cqs 6271  Ncnpi 6810   ·N cmi 6812   ~Q0 ceq0 6824  Q0cnq0 6825   ·Q0 cmq0 6828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-mi 6844  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-mq0 6966
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7040
  Copyright terms: Public domain W3C validator