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Theorem nqnq0 7249
 Description: A positive fraction is a nonnegative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0 QQ0

Proof of Theorem nqnq0
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7156 . . . . 5 Q = ((N × N) / ~Q )
21eleq2i 2206 . . . 4 (𝑦Q𝑦 ∈ ((N × N) / ~Q ))
3 vex 2689 . . . . 5 𝑦 ∈ V
43elqs 6480 . . . 4 (𝑦 ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ ∃𝑥 ∈ (N × N)𝑦 = [𝑥] ~Q )
5 df-rex 2422 . . . 4 (∃𝑥 ∈ (N × N)𝑦 = [𝑥] ~Q ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ))
62, 4, 53bitri 205 . . 3 (𝑦Q ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ))
7 elxpi 4555 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (N × N) → ∃𝑢𝑣(𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)))
8 nqnq0pi 7246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢N𝑣N) → [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q )
98adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q )
10 eceq1 6464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → [𝑥] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 )
11 eceq1 6464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → [𝑥] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q )
1210, 11eqeq12d 2154 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ([𝑥] ~Q0 = [𝑥] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
1312adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([𝑥] ~Q0 = [𝑥] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
149, 13mpbird 166 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → [𝑥] ~Q0 = [𝑥] ~Q )
15 pinn 7117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢N𝑢 ∈ ω)
16 opelxpi 4571 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N))
1715, 16sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢N𝑣N) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N))
1817adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N))
19 eleq1 2202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑥 ∈ (ω × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N)))
2019adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑥 ∈ (ω × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N)))
2118, 20mpbird 166 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → 𝑥 ∈ (ω × N))
22 enq0ex 7247 . . . . . . . . . . . 12 ~Q0 ∈ V
2322ecelqsi 6483 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ω × N) → [𝑥] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
24 df-nq0 7233 . . . . . . . . . . 11 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2523, 24eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ω × N) → [𝑥] ~Q0Q0)
2621, 25syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → [𝑥] ~Q0Q0)
2714, 26eqeltrrd 2217 . . . . . . . 8 ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → [𝑥] ~QQ0)
2827exlimivv 1868 . . . . . . 7 (∃𝑢𝑣(𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢N𝑣N)) → [𝑥] ~QQ0)
297, 28syl 14 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (N × N) → [𝑥] ~QQ0)
3029adantr 274 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → [𝑥] ~QQ0)
31 eleq1 2202 . . . . . 6 (𝑦 = [𝑥] ~Q → (𝑦Q0 ↔ [𝑥] ~QQ0))
3231adantl 275 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → (𝑦Q0 ↔ [𝑥] ~QQ0))
3330, 32mpbird 166 . . . 4 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → 𝑦Q0)
3433exlimiv 1577 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → 𝑦Q0)
356, 34sylbi 120 . 2 (𝑦Q𝑦Q0)
3635ssriv 3101 1 QQ0
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   ⊆ wss 3071  ⟨cop 3530  ωcom 4504   × cxp 4537  [cec 6427   / cqs 6428  Ncnpi 7080   ~Q ceq 7087  Qcnq 7088   ~Q0 ceq0 7094  Q0cnq0 7095 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-mi 7114  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-enq0 7232  df-nq0 7233 This theorem is referenced by:  prarloclem5  7308  prarloclemcalc  7310
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