Theorem addclnq0 7676

Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)

Proof of Theorem addclnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7650	. . 3 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq1 6030	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
3	2	eleq1d 2299	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
4		oveq2 6031	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 𝐵))
5	4	eleq1d 2299	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
6		addnnnq0 7674	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
7		pinn 7534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
8		nnmcl 6654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω)
9	7, 8	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω)
10		pinn 7534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
11		nnmcl 6654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
12	10, 11	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
13		nnacl 6653	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
15	14	an42s 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
16		mulpiord 7542	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑤))
17		mulclpi 7553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
18	16, 17	eqeltrrd 2308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
19	18	ad2ant2l 508	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
20	15, 19	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
21		opelxpi 4759	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (ω × N))
22		enq0ex 7664	. . . . . 6 ⊢ ~Q0 ∈ V
23	22	ecelqsi 6763	. . . . 5 ⊢ (⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (ω × N) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
24	20, 21, 23	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
25	6, 24	eqeltrd 2307	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
26	1, 3, 5, 25	2ecoptocl 6797	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
27	26, 1	eleqtrrdi 2324	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ⟨cop 3673  ωcom 4690   × cxp 4725  (class class class)co 6023   +_o coa 6584   ·_o comu 6585  [cec 6705   / cqs 6706  Ncnpi 7497   ·_N cmi 7499   ~_Q0 ceq0 7511  Q₀cnq0 7512   +_Q0 cplq0 7514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-oadd 6591  df-omul 6592  df-er 6707  df-ec 6709  df-qs 6713  df-ni 7529  df-mi 7531  df-enq0 7649  df-nq0 7650  df-plq0 7652

This theorem is referenced by:  distnq0r  7688  prarloclemcalc  7727