Theorem addclnq0 7818

Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)

Proof of Theorem addclnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7792	. . 3 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq1 6092	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
3	2	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
4		oveq2 6093	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 𝐵))
5	4	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
6		addnnnq0 7816	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
7		pinn 7676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
8		nnmcl 6754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω)
9	7, 8	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω)
10		pinn 7676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
11		nnmcl 6754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
12	10, 11	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
13		nnacl 6753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
15	14	an42s 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
16		mulpiord 7684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑤))
17		mulclpi 7695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
18	16, 17	eqeltrrd 2316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
19	18	ad2ant2l 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
20	15, 19	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
21		opelxpi 4806	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (ω × N))
22		enq0ex 7806	. . . . . 6 ⊢ ~Q0 ∈ V
23	22	ecelqsi 6863	. . . . 5 ⊢ (⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (ω × N) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
24	20, 21, 23	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
25	6, 24	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
26	1, 3, 5, 25	2ecoptocl 6897	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
27	26, 1	eleqtrrdi 2332	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712  ωcom 4737   × cxp 4772  (class class class)co 6085   +_o coa 6684   ·_o comu 6685  [cec 6805   / cqs 6806  Ncnpi 7639   ·_N cmi 7641   ~_Q0 ceq0 7653  Q₀cnq0 7654   +_Q0 cplq0 7656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-mi 7673  df-enq0 7791  df-nq0 7792  df-plq0 7794

This theorem is used by:  distnq0r  7830  prarloclemcalc  7869