ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq0 GIF version

Theorem addclnq0 7279
Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addclnq0 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)

Proof of Theorem addclnq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7253 . . 3 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5785 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
32eleq1d 2209 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
4 oveq2 5786 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 𝐵))
54eleq1d 2209 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
6 addnnnq0 7277 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
7 pinn 7137 . . . . . . . . 9 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
8 nnmcl 6381 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω)
97, 8sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω)
10 pinn 7137 . . . . . . . . 9 (𝑦N𝑦 ∈ ω)
11 nnmcl 6381 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
1210, 11sylan 281 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
13 nnacl 6380 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
149, 12, 13syl2an 287 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑦N𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
1514an42s 579 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
16 mulpiord 7145 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑤))
17 mulclpi 7156 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1816, 17eqeltrrd 2218 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
1918ad2ant2l 500 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
2015, 19jca 304 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
21 opelxpi 4575 . . . . 5 ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (ω × N))
22 enq0ex 7267 . . . . . 6 ~Q0 ∈ V
2322ecelqsi 6487 . . . . 5 (⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (ω × N) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
2420, 21, 233syl 17 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
256, 24eqeltrd 2217 . . 3 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
261, 3, 5, 252ecoptocl 6521 . 2 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
2726, 1eleqtrrdi 2234 1 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  cop 3531  ωcom 4508   × cxp 4541  (class class class)co 5778   +o coa 6314   ·o comu 6315  [cec 6431   / cqs 6432  Ncnpi 7100   ·N cmi 7102   ~Q0 ceq0 7114  Q0cnq0 7115   +Q0 cplq0 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-iord 4292  df-on 4294  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-irdg 6271  df-oadd 6321  df-omul 6322  df-er 6433  df-ec 6435  df-qs 6439  df-ni 7132  df-mi 7134  df-enq0 7252  df-nq0 7253  df-plq0 7255
This theorem is referenced by:  distnq0r  7291  prarloclemcalc  7330
  Copyright terms: Public domain W3C validator