Theorem addclnq0 7714

Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)

Proof of Theorem addclnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7688	. . 3 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq1 6035	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
3	2	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
4		oveq2 6036	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 𝐵))
5	4	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ↔ (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 )))
6		addnnnq0 7712	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
7		pinn 7572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
8		nnmcl 6692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω)
9	7, 8	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω)
10		pinn 7572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
11		nnmcl 6692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
12	10, 11	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
13		nnacl 6691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
14	9, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
15	14	an42s 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω)
16		mulpiord 7580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑤))
17		mulclpi 7591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
18	16, 17	eqeltrrd 2309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
19	18	ad2ant2l 508	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
20	15, 19	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
21		opelxpi 4763	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (ω × N))
22		enq0ex 7702	. . . . . 6 ⊢ ~Q0 ∈ V
23	22	ecelqsi 6801	. . . . 5 ⊢ (⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (ω × N) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
24	20, 21, 23	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
25	6, 24	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
26	1, 3, 5, 25	2ecoptocl 6835	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
27	26, 1	eleqtrrdi 2325	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3676  ωcom 4694   × cxp 4729  (class class class)co 6028   +_o coa 6622   ·_o comu 6623  [cec 6743   / cqs 6744  Ncnpi 7535   ·_N cmi 7537   ~_Q0 ceq0 7549  Q₀cnq0 7550   +_Q0 cplq0 7552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-mi 7569  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-plq0 7690

This theorem is referenced by:  distnq0r  7726  prarloclemcalc  7765