ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq0 GIF version

Theorem addclnq0 7452
Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addclnq0 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด +Q0 ๐ต) โˆˆ Q0)

Proof of Theorem addclnq0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7426 . . 3 Q0 = ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )
2 oveq1 5884 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = (๐ด +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
32eleq1d 2246 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โ†” (๐ด +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )))
4 oveq2 5885 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ๐ต โ†’ (๐ด +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = (๐ด +Q0 ๐ต))
54eleq1d 2246 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ๐ต โ†’ ((๐ด +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โ†” (๐ด +Q0 ๐ต) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )))
6 addnnnq0 7450 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 )
7 pinn 7310 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ N โ†’ ๐‘ค โˆˆ ฯ‰)
8 nnmcl 6484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) โˆˆ ฯ‰)
97, 8sylan2 286 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) โˆˆ ฯ‰)
10 pinn 7310 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ N โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)
11 nnmcl 6484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰)
1210, 11sylan 283 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰)
13 nnacl 6483 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)) โˆˆ ฯ‰)
149, 12, 13syl2an 289 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)) โˆˆ ฯ‰)
1514an42s 589 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)) โˆˆ ฯ‰)
16 mulpiord 7318 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค))
17 mulclpi 7329 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
1816, 17eqeltrrd 2255 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N)
1918ad2ant2l 508 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N)
2015, 19jca 306 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N))
21 opelxpi 4660 . . . . 5 ((((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ โŸจ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (ฯ‰ ร— N))
22 enq0ex 7440 . . . . . 6 ~Q0 โˆˆ V
2322ecelqsi 6591 . . . . 5 (โŸจ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
2420, 21, 233syl 17 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
256, 24eqeltrd 2254 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
261, 3, 5, 252ecoptocl 6625 . 2 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด +Q0 ๐ต) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
2726, 1eleqtrrdi 2271 1 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด +Q0 ๐ต) โˆˆ Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3597  ฯ‰com 4591   ร— cxp 4626  (class class class)co 5877   +o coa 6416   ยทo comu 6417  [cec 6535   / cqs 6536  Ncnpi 7273   ยทN cmi 7275   ~Q0 ceq0 7287  Q0cnq0 7288   +Q0 cplq0 7290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-mi 7307  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-plq0 7428
This theorem is referenced by:  distnq0r  7464  prarloclemcalc  7503
  Copyright terms: Public domain W3C validator