ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq0 GIF version

Theorem addclnq0 7449
Description: Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addclnq0 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด +Q0 ๐ต) โˆˆ Q0)

Proof of Theorem addclnq0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7423 . . 3 Q0 = ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )
2 oveq1 5881 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = (๐ด +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
32eleq1d 2246 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โ†” (๐ด +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )))
4 oveq2 5882 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ๐ต โ†’ (๐ด +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = (๐ด +Q0 ๐ต))
54eleq1d 2246 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ๐ต โ†’ ((๐ด +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โ†” (๐ด +Q0 ๐ต) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )))
6 addnnnq0 7447 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 )
7 pinn 7307 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ N โ†’ ๐‘ค โˆˆ ฯ‰)
8 nnmcl 6481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) โˆˆ ฯ‰)
97, 8sylan2 286 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) โˆˆ ฯ‰)
10 pinn 7307 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ N โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)
11 nnmcl 6481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰)
1210, 11sylan 283 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰)
13 nnacl 6480 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง) โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)) โˆˆ ฯ‰)
149, 12, 13syl2an 289 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)) โˆˆ ฯ‰)
1514an42s 589 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)) โˆˆ ฯ‰)
16 mulpiord 7315 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค))
17 mulclpi 7326 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
1816, 17eqeltrrd 2255 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N)
1918ad2ant2l 508 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N)
2015, 19jca 306 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N))
21 opelxpi 4658 . . . . 5 ((((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ โŸจ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (ฯ‰ ร— N))
22 enq0ex 7437 . . . . . 6 ~Q0 โˆˆ V
2322ecelqsi 6588 . . . . 5 (โŸจ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
2420, 21, 233syl 17 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ค) +o (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
256, 24eqeltrd 2254 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
261, 3, 5, 252ecoptocl 6622 . 2 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด +Q0 ๐ต) โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ))
2726, 1eleqtrrdi 2271 1 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด +Q0 ๐ต) โˆˆ Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3595  ฯ‰com 4589   ร— cxp 4624  (class class class)co 5874   +o coa 6413   ยทo comu 6414  [cec 6532   / cqs 6533  Ncnpi 7270   ยทN cmi 7272   ~Q0 ceq0 7284  Q0cnq0 7285   +Q0 cplq0 7287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-plq0 7425
This theorem is referenced by:  distnq0r  7461  prarloclemcalc  7500
  Copyright terms: Public domain W3C validator