Theorem xpex 4774

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   × cxp 4657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-opab 4091  df-xp 4665

This theorem is referenced by:  oprabex  6180  oprabex3  6181  mpoexw  6266  fnpm  6710  mapsnf1o2  6750  xpsnen  6875  endisj  6878  xpcomen  6881  xpassen  6884  xpmapenlem  6905  0ct  7166  exmidomni  7201  exmidfodomrlemim  7261  2omotaplemst  7318  enqex  7420  nqex  7423  enq0ex  7499  nq0ex  7500  npex  7533  enrex  7797  addvalex  7904  axcnex  7919  addex  9717  mulex  9718  ixxex  9965  fxnn0nninf  10510  inftonninf  10513  shftfval  10965  nninfct  12178  qnumval  12323  qdenval  12324  qnnen  12588  prdsex  12880  znval  14124  znle  14125  znbaslemnn  14127  fnpsr  14153  txuni2  14424  txbas  14426  eltx  14427  txcnp  14439  txcnmpt  14441  txrest  14444  txlm  14447  reldvg  14833