Theorem xpex 4614

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4613	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 420	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1463  Vcvv 2657   × cxp 4497

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-rex 2396  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-opab 3950  df-xp 4505

This theorem is referenced by:  oprabex  5980  oprabex3  5981  fnpm  6504  mapsnf1o2  6544  xpsnen  6668  endisj  6671  xpcomen  6674  xpassen  6677  xpmapenlem  6696  0ct  6944  exmidomni  6964  exmidfodomrlemim  7005  enqex  7116  nqex  7119  enq0ex  7195  nq0ex  7196  npex  7229  enrex  7480  addvalex  7579  axcnex  7594  ixxex  9575  fxnn0nninf  10104  inftonninf  10107  shftfval  10486  qnumval  11708  qdenval  11709  qnnen  11789  txuni2  12267  txbas  12269  eltx  12270  txcnp  12282  txcnmpt  12284  txrest  12287  txlm  12290  reldvg  12603