Theorem xpex 4871

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   × cxp 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-opab 4177  df-xp 4760

This theorem is referenced by:  oprabex  6334  oprabex3  6335  mpoexw  6422  fnpm  6903  mapsnf1o2  6944  xpsnen  7085  endisj  7088  xpcomen  7091  xpassen  7094  xpmapenlem  7115  0ct  7411  exmidomni  7446  exmidfodomrlemim  7517  2omotaplemst  7588  enqex  7691  nqex  7694  enq0ex  7770  nq0ex  7771  npex  7804  enrex  8068  addvalex  8175  axcnex  8190  addex  10005  mulex  10006  ixxex  10254  fxnn0nninf  10828  inftonninf  10831  shftfval  11534  nninfct  12765  qnumval  12910  qdenval  12911  qnnen  13269  prdsex  14117  metuex  14832  cnfldstr  14835  cnfldle  14844  znval  14913  znle  14914  znbaslemnn  14916  fnpsr  14944  txuni2  15250  txbas  15252  eltx  15253  txcnp  15265  txcnmpt  15267  txrest  15270  txlm  15273  reldvg  15673  pellexlem3  15976