Theorem xpex 4779

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   × cxp 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-opab 4096  df-xp 4670

This theorem is referenced by:  oprabex  6194  oprabex3  6195  mpoexw  6280  fnpm  6724  mapsnf1o2  6764  xpsnen  6889  endisj  6892  xpcomen  6895  xpassen  6898  xpmapenlem  6919  0ct  7182  exmidomni  7217  exmidfodomrlemim  7282  2omotaplemst  7343  enqex  7446  nqex  7449  enq0ex  7525  nq0ex  7526  npex  7559  enrex  7823  addvalex  7930  axcnex  7945  addex  9745  mulex  9746  ixxex  9993  fxnn0nninf  10550  inftonninf  10553  shftfval  11005  nninfct  12235  qnumval  12380  qdenval  12381  qnnen  12675  prdsex  12973  metuex  14189  cnfldstr  14192  cnfldle  14201  znval  14270  znle  14271  znbaslemnn  14273  fnpsr  14301  txuni2  14600  txbas  14602  eltx  14603  txcnp  14615  txcnmpt  14617  txrest  14620  txlm  14623  reldvg  15023