Theorem xpex 4889

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4887	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   × cxp 4770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-opab 4191  df-xp 4778

This theorem is referenced by:  oprabex  6355  oprabex3  6356  mpoexw  6443  fnpm  6924  mapsnf1o2  6972  xpsnen  7113  endisj  7116  xpcomen  7119  xpassen  7122  xpmapenlem  7143  0ct  7441  exmidomni  7476  exmidfodomrlemim  7547  2omotaplemst  7618  enqex  7721  nqex  7724  enq0ex  7800  nq0ex  7801  npex  7834  enrex  8098  addvalex  8205  axcnex  8220  addex  10035  mulex  10036  ixxex  10284  fxnn0nninf  10859  inftonninf  10862  shftfval  11569  nninfct  12801  qnumval  12946  qdenval  12947  qnnen  13305  prdsex  14155  metuex  14875  cnfldstr  14878  cnfldle  14887  znval  14954  znle  14955  znbaslemnn  14957  fnpsr  15034  txuni2  15340  txbas  15342  eltx  15343  txcnp  15355  txcnmpt  15357  txrest  15360  txlm  15363  reldvg  15763  pellexlem3  16076