Theorem xpex 4742

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4741	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738   × cxp 4625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-opab 4066  df-xp 4633

This theorem is referenced by:  oprabex  6129  oprabex3  6130  mpoexw  6214  fnpm  6656  mapsnf1o2  6696  xpsnen  6821  endisj  6824  xpcomen  6827  xpassen  6830  xpmapenlem  6849  0ct  7106  exmidomni  7140  exmidfodomrlemim  7200  2omotaplemst  7257  enqex  7359  nqex  7362  enq0ex  7438  nq0ex  7439  npex  7472  enrex  7736  addvalex  7843  axcnex  7858  addex  9651  mulex  9652  ixxex  9899  fxnn0nninf  10438  inftonninf  10441  shftfval  10830  qnumval  12185  qdenval  12186  qnnen  12432  prdsex  12718  txuni2  13759  txbas  13761  eltx  13762  txcnp  13774  txcnmpt  13776  txrest  13779  txlm  13782  reldvg  14151