Theorem xpex 4698

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4697	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 423	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   × cxp 4581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-opab 4026  df-xp 4589

This theorem is referenced by:  oprabex  6070  oprabex3  6071  fnpm  6594  mapsnf1o2  6634  xpsnen  6759  endisj  6762  xpcomen  6765  xpassen  6768  xpmapenlem  6787  0ct  7041  exmidomni  7068  exmidfodomrlemim  7119  enqex  7263  nqex  7266  enq0ex  7342  nq0ex  7343  npex  7376  enrex  7640  addvalex  7747  axcnex  7762  ixxex  9785  fxnn0nninf  10319  inftonninf  10322  shftfval  10703  qnumval  12039  qdenval  12040  qnnen  12132  txuni2  12616  txbas  12618  eltx  12619  txcnp  12631  txcnmpt  12633  txrest  12636  txlm  12639  reldvg  13008