Theorem xpex 4719

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4718	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 423	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   × cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-opab 4044  df-xp 4610

This theorem is referenced by:  oprabex  6096  oprabex3  6097  mpoexw  6181  fnpm  6622  mapsnf1o2  6662  xpsnen  6787  endisj  6790  xpcomen  6793  xpassen  6796  xpmapenlem  6815  0ct  7072  exmidomni  7106  exmidfodomrlemim  7157  enqex  7301  nqex  7304  enq0ex  7380  nq0ex  7381  npex  7414  enrex  7678  addvalex  7785  axcnex  7800  ixxex  9835  fxnn0nninf  10373  inftonninf  10376  shftfval  10763  qnumval  12117  qdenval  12118  qnnen  12364  txuni2  12896  txbas  12898  eltx  12899  txcnp  12911  txcnmpt  12913  txrest  12916  txlm  12919  reldvg  13288