Theorem xpex 4893

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4891	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   × cxp 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-opab 4194  df-xp 4782

This theorem is used by:  oprabex  6365  oprabex3  6366  mpoexw  6453  fnpm  6934  mapsnf1o2  6983  xpsnen  7124  endisj  7127  xpcomen  7130  xpassen  7133  xpmapenlem  7154  0ct  7454  exmidomni  7489  exmidfodomrlemim  7560  2omotaplemst  7631  enqex  7734  nqex  7737  enq0ex  7813  nq0ex  7814  npex  7847  enrex  8111  addvalex  8218  axcnex  8233  addex  10070  mulex  10071  ixxex  10319  fxnn0nninf  10898  inftonninf  10901  shftfval  11609  nninfct  12844  qnumval  12991  qdenval  12992  qnnen  13381  prdsex  14280  metuex  15002  cnfldstr  15005  cnfldle  15014  znval  15081  znle  15082  znbaslemnn  15084  fnpsr  15163  txuni2  15494  txbas  15496  eltx  15497  txcnp  15509  txcnmpt  15511  txrest  15514  txlm  15517  reldvg  15917  pellexlem3  16243