Theorem xpex 4778

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   × cxp 4661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-opab 4095  df-xp 4669

This theorem is referenced by:  oprabex  6185  oprabex3  6186  mpoexw  6271  fnpm  6715  mapsnf1o2  6755  xpsnen  6880  endisj  6883  xpcomen  6886  xpassen  6889  xpmapenlem  6910  0ct  7173  exmidomni  7208  exmidfodomrlemim  7268  2omotaplemst  7325  enqex  7427  nqex  7430  enq0ex  7506  nq0ex  7507  npex  7540  enrex  7804  addvalex  7911  axcnex  7926  addex  9726  mulex  9727  ixxex  9974  fxnn0nninf  10531  inftonninf  10534  shftfval  10986  nninfct  12208  qnumval  12353  qdenval  12354  qnnen  12648  prdsex  12940  metuex  14111  cnfldstr  14114  cnfldle  14123  znval  14192  znle  14193  znbaslemnn  14195  fnpsr  14221  txuni2  14492  txbas  14494  eltx  14495  txcnp  14507  txcnmpt  14509  txrest  14512  txlm  14515  reldvg  14915