Theorem xpex 4840

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   × cxp 4721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-opab 4149  df-xp 4729

This theorem is referenced by:  oprabex  6285  oprabex3  6286  mpoexw  6373  fnpm  6820  mapsnf1o2  6860  xpsnen  7000  endisj  7003  xpcomen  7006  xpassen  7009  xpmapenlem  7030  0ct  7300  exmidomni  7335  exmidfodomrlemim  7405  2omotaplemst  7470  enqex  7573  nqex  7576  enq0ex  7652  nq0ex  7653  npex  7686  enrex  7950  addvalex  8057  axcnex  8072  addex  9879  mulex  9880  ixxex  10127  fxnn0nninf  10694  inftonninf  10697  shftfval  11375  nninfct  12605  qnumval  12750  qdenval  12751  qnnen  13045  prdsex  13345  metuex  14562  cnfldstr  14565  cnfldle  14574  znval  14643  znle  14644  znbaslemnn  14646  fnpsr  14674  txuni2  14973  txbas  14975  eltx  14976  txcnp  14988  txcnmpt  14990  txrest  14993  txlm  14996  reldvg  15396