Theorem xpex 4649

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4648	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 422	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   × cxp 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-opab 3985  df-xp 4540

This theorem is referenced by:  oprabex  6019  oprabex3  6020  fnpm  6543  mapsnf1o2  6583  xpsnen  6708  endisj  6711  xpcomen  6714  xpassen  6717  xpmapenlem  6736  0ct  6985  exmidomni  7007  exmidfodomrlemim  7050  enqex  7161  nqex  7164  enq0ex  7240  nq0ex  7241  npex  7274  enrex  7538  addvalex  7645  axcnex  7660  ixxex  9675  fxnn0nninf  10204  inftonninf  10207  shftfval  10586  qnumval  11852  qdenval  11853  qnnen  11933  txuni2  12414  txbas  12416  eltx  12417  txcnp  12429  txcnmpt  12431  txrest  12434  txlm  12437  reldvg  12806