Theorem xpex 4868

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4866	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   × cxp 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-opab 4174  df-xp 4757

This theorem is referenced by:  oprabex  6323  oprabex3  6324  mpoexw  6411  fnpm  6892  mapsnf1o2  6933  xpsnen  7074  endisj  7077  xpcomen  7080  xpassen  7083  xpmapenlem  7104  0ct  7400  exmidomni  7435  exmidfodomrlemim  7506  2omotaplemst  7577  enqex  7680  nqex  7683  enq0ex  7759  nq0ex  7760  npex  7793  enrex  8057  addvalex  8164  axcnex  8179  addex  9990  mulex  9991  ixxex  10238  fxnn0nninf  10808  inftonninf  10811  shftfval  11514  nninfct  12745  qnumval  12890  qdenval  12891  qnnen  13203  prdsex  13503  metuex  14752  cnfldstr  14755  cnfldle  14764  znval  14833  znle  14834  znbaslemnn  14836  fnpsr  14864  txuni2  15170  txbas  15172  eltx  15173  txcnp  15185  txcnmpt  15187  txrest  15190  txlm  15193  reldvg  15593  pellexlem3  15896