Theorem xpex 4794

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4793	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   × cxp 4677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-opab 4110  df-xp 4685

This theorem is referenced by:  oprabex  6220  oprabex3  6221  mpoexw  6306  fnpm  6750  mapsnf1o2  6790  xpsnen  6923  endisj  6926  xpcomen  6929  xpassen  6932  xpmapenlem  6953  0ct  7216  exmidomni  7251  exmidfodomrlemim  7316  2omotaplemst  7377  enqex  7480  nqex  7483  enq0ex  7559  nq0ex  7560  npex  7593  enrex  7857  addvalex  7964  axcnex  7979  addex  9780  mulex  9781  ixxex  10028  fxnn0nninf  10591  inftonninf  10594  shftfval  11176  nninfct  12406  qnumval  12551  qdenval  12552  qnnen  12846  prdsex  13145  metuex  14361  cnfldstr  14364  cnfldle  14373  znval  14442  znle  14443  znbaslemnn  14445  fnpsr  14473  txuni2  14772  txbas  14774  eltx  14775  txcnp  14787  txcnmpt  14789  txrest  14792  txlm  14795  reldvg  15195