Theorem xpex 4865

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4863	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   × cxp 4746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-opab 4171  df-xp 4754

This theorem is referenced by:  oprabex  6320  oprabex3  6321  mpoexw  6408  fnpm  6889  mapsnf1o2  6930  xpsnen  7071  endisj  7074  xpcomen  7077  xpassen  7080  xpmapenlem  7101  0ct  7397  exmidomni  7432  exmidfodomrlemim  7503  2omotaplemst  7568  enqex  7671  nqex  7674  enq0ex  7750  nq0ex  7751  npex  7784  enrex  8048  addvalex  8155  axcnex  8170  addex  9980  mulex  9981  ixxex  10228  fxnn0nninf  10797  inftonninf  10800  shftfval  11499  nninfct  12730  qnumval  12875  qdenval  12876  qnnen  13171  prdsex  13471  metuex  14690  cnfldstr  14693  cnfldle  14702  znval  14771  znle  14772  znbaslemnn  14774  fnpsr  14802  txuni2  15108  txbas  15110  eltx  15111  txcnp  15123  txcnmpt  15125  txrest  15128  txlm  15131  reldvg  15531  pellexlem3  15834