Theorem xpex 4891

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4889	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   × cxp 4772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-opab 4193  df-xp 4780

This theorem is used by:  oprabex  6361  oprabex3  6362  mpoexw  6449  fnpm  6930  mapsnf1o2  6978  xpsnen  7119  endisj  7122  xpcomen  7125  xpassen  7128  xpmapenlem  7149  0ct  7447  exmidomni  7482  exmidfodomrlemim  7553  2omotaplemst  7624  enqex  7727  nqex  7730  enq0ex  7806  nq0ex  7807  npex  7840  enrex  8104  addvalex  8211  axcnex  8226  addex  10054  mulex  10055  ixxex  10303  fxnn0nninf  10878  inftonninf  10881  shftfval  11588  nninfct  12820  qnumval  12965  qdenval  12966  qnnen  13324  prdsex  14174  metuex  14894  cnfldstr  14897  cnfldle  14906  znval  14973  znle  14974  znbaslemnn  14976  fnpsr  15053  txuni2  15359  txbas  15361  eltx  15362  txcnp  15374  txcnmpt  15376  txrest  15379  txlm  15382  reldvg  15782  pellexlem3  16099