Theorem xpex 4842

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4840	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   × cxp 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-opab 4151  df-xp 4731

This theorem is referenced by:  oprabex  6290  oprabex3  6291  mpoexw  6378  fnpm  6825  mapsnf1o2  6865  xpsnen  7005  endisj  7008  xpcomen  7011  xpassen  7014  xpmapenlem  7035  0ct  7306  exmidomni  7341  exmidfodomrlemim  7412  2omotaplemst  7477  enqex  7580  nqex  7583  enq0ex  7659  nq0ex  7660  npex  7693  enrex  7957  addvalex  8064  axcnex  8079  addex  9886  mulex  9887  ixxex  10134  fxnn0nninf  10702  inftonninf  10705  shftfval  11383  nninfct  12614  qnumval  12759  qdenval  12760  qnnen  13054  prdsex  13354  metuex  14572  cnfldstr  14575  cnfldle  14584  znval  14653  znle  14654  znbaslemnn  14656  fnpsr  14684  txuni2  14983  txbas  14985  eltx  14986  txcnp  14998  txcnmpt  15000  txrest  15003  txlm  15006  reldvg  15406