Theorem xpex 4726

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4725	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 424	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   × cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-opab 4051  df-xp 4617

This theorem is referenced by:  oprabex  6107  oprabex3  6108  mpoexw  6192  fnpm  6634  mapsnf1o2  6674  xpsnen  6799  endisj  6802  xpcomen  6805  xpassen  6808  xpmapenlem  6827  0ct  7084  exmidomni  7118  exmidfodomrlemim  7178  enqex  7322  nqex  7325  enq0ex  7401  nq0ex  7402  npex  7435  enrex  7699  addvalex  7806  axcnex  7821  ixxex  9856  fxnn0nninf  10394  inftonninf  10397  shftfval  10785  qnumval  12139  qdenval  12140  qnnen  12386  txuni2  13050  txbas  13052  eltx  13053  txcnp  13065  txcnmpt  13067  txrest  13070  txlm  13073  reldvg  13442