Theorem xpex 4741

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4740	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   × cxp 4624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-opab 4065  df-xp 4632

This theorem is referenced by:  oprabex  6128  oprabex3  6129  mpoexw  6213  fnpm  6655  mapsnf1o2  6695  xpsnen  6820  endisj  6823  xpcomen  6826  xpassen  6829  xpmapenlem  6848  0ct  7105  exmidomni  7139  exmidfodomrlemim  7199  2omotaplemst  7256  enqex  7358  nqex  7361  enq0ex  7437  nq0ex  7438  npex  7471  enrex  7735  addvalex  7842  axcnex  7857  addex  9650  mulex  9651  ixxex  9898  fxnn0nninf  10437  inftonninf  10440  shftfval  10829  qnumval  12184  qdenval  12185  qnnen  12431  prdsex  12717  txuni2  13726  txbas  13728  eltx  13729  txcnp  13741  txcnmpt  13743  txrest  13746  txlm  13749  reldvg  14118