Theorem xpex 4837

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpexg 4835	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   × cxp 4718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-opab 4146  df-xp 4726

This theorem is referenced by:  oprabex  6282  oprabex3  6283  mpoexw  6370  fnpm  6816  mapsnf1o2  6856  xpsnen  6993  endisj  6996  xpcomen  6999  xpassen  7002  xpmapenlem  7023  0ct  7290  exmidomni  7325  exmidfodomrlemim  7395  2omotaplemst  7460  enqex  7563  nqex  7566  enq0ex  7642  nq0ex  7643  npex  7676  enrex  7940  addvalex  8047  axcnex  8062  addex  9864  mulex  9865  ixxex  10112  fxnn0nninf  10678  inftonninf  10681  shftfval  11353  nninfct  12583  qnumval  12728  qdenval  12729  qnnen  13023  prdsex  13323  metuex  14540  cnfldstr  14543  cnfldle  14552  znval  14621  znle  14622  znbaslemnn  14624  fnpsr  14652  txuni2  14951  txbas  14953  eltx  14954  txcnp  14966  txcnmpt  14968  txrest  14971  txlm  14974  reldvg  15374