Theorem eqbrtri 4151

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtr.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqbrtr.2	⊢ 𝐵𝑅𝐶

Assertion

Ref	Expression
eqbrtri	⊢ 𝐴𝑅𝐶

Proof of Theorem eqbrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtr.2	. 2 ⊢ 𝐵𝑅𝐶
2		eqbrtr.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3	2	breq1i 4137	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ 𝐴𝑅𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  eqbrtrri  4153  3brtr4i  4160  exmidpw2en  7219  exmidonfinlem  7545  neg1lt0  9413  halflt1  9524  3halfnz  9745  declei  9814  numlti  9815  faclbnd3  11183  geo2lim  12285  0.999...  12290  geoihalfsum  12291  fprodap0  12390  fprodap0f  12405  tan0  12500  cos2bnd  12529  sin4lt0  12536  eirraplem  12546  1nprm  12894  ballotfilemth  13283  znnen  13291  cnfldstr  14897  tan4thpi  15945  log2tlbndlog2  16088  zabsle1  16130  ex-fl  16751  trilpolemisumle  17099