Theorem breq1i 4137

Description: Equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypothesis

Ref	Expression
breq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
breq1i	⊢ (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶)

Proof of Theorem breq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		breq1 4133	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  eqbrtri  4151  brtpos0  6523  euen1  7089  euen1b  7090  2dom  7093  modom2  7109  infglbti  7366  pr2nelem  7538  pr2cv2  7543  caucvgprprlemnbj  8061  caucvgprprlemmu  8063  caucvgprprlemaddq  8076  caucvgprprlem1  8077  gt0srpr  8116  caucvgsr  8170  mappsrprg  8172  map2psrprg  8173  pitonnlem1  8213  pitoregt0  8217  axprecex  8248  axpre-mulgt0  8255  axcaucvglemres  8267  lt0neg1  8798  le0neg1  8800  reclt1  9229  addltmul  9547  eluz2b1  10011  nn01to3  10027  xlt0neg1  10251  xle0neg1  10253  iccshftr  10407  iccshftl  10409  iccdil  10411  icccntr  10413  bernneq  11113  cbvsum  12145  expcnv  12290  cbvprod  12344  oddge22np1  12667  nn0o1gt2  12691  isprm3  12915  dvdsnprmd  12922  pwbdvdslemn  12963  ballotfilemi1  13297  txmetcnp  15710  sincosq1sgn  16019  sincosq3sgn  16021  sincosq4sgn  16022  logrpap0b  16070  bposlem6  16277  gausslemma2dlem3  16348  konigsberglem5  16899