Theorem breq1i 4137

Description: Equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypothesis

Ref	Expression
breq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
breq1i	⊢ (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶)

Proof of Theorem breq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		breq1 4133	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  eqbrtri  4151  brtpos0  6523  euen1  7089  euen1b  7090  2dom  7093  modom2  7109  infglbti  7365  pr2nelem  7537  pr2cv2  7542  caucvgprprlemnbj  8060  caucvgprprlemmu  8062  caucvgprprlemaddq  8075  caucvgprprlem1  8076  gt0srpr  8115  caucvgsr  8169  mappsrprg  8171  map2psrprg  8172  pitonnlem1  8212  pitoregt0  8216  axprecex  8247  axpre-mulgt0  8254  axcaucvglemres  8266  lt0neg1  8796  le0neg1  8798  reclt1  9226  addltmul  9542  eluz2b1  10001  nn01to3  10017  xlt0neg1  10240  xle0neg1  10242  iccshftr  10396  iccshftl  10398  iccdil  10400  icccntr  10402  bernneq  11098  cbvsum  12126  expcnv  12271  cbvprod  12325  oddge22np1  12648  nn0o1gt2  12672  isprm3  12896  dvdsnprmd  12903  pw2dvdslemn  12943  ballotfilemi1  13245  txmetcnp  15619  sincosq1sgn  15927  sincosq3sgn  15929  sincosq4sgn  15930  logrpap0b  15977  gausslemma2dlem3  16182  konigsberglem5  16733