Theorem breq1i 4138

Description: Equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypothesis

Ref	Expression
breq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
breq1i	⊢ (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶)

Proof of Theorem breq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		breq1 4134	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  eqbrtri  4152  brtpos0  6527  euen1  7093  euen1b  7094  2dom  7097  modom2  7113  infglbti  7371  pr2nelem  7543  pr2cv2  7548  caucvgprprlemnbj  8066  caucvgprprlemmu  8068  caucvgprprlemaddq  8081  caucvgprprlem1  8082  gt0srpr  8121  caucvgsr  8175  mappsrprg  8177  map2psrprg  8178  pitonnlem1  8218  pitoregt0  8222  axprecex  8253  axpre-mulgt0  8260  axcaucvglemres  8272  lt0neg1  8803  le0neg1  8805  reclt1  9234  addltmul  9553  eluz2b1  10017  nn01to3  10033  xlt0neg1  10257  xle0neg1  10259  iccshftr  10413  iccshftl  10415  iccdil  10417  icccntr  10419  bernneq  11119  cbvsum  12151  expcnv  12296  cbvprod  12350  oddge22np1  12673  nn0o1gt2  12697  isprm3  12921  dvdsnprmd  12928  pwbdvdslemn  12969  ballotfilemi1  13303  txmetcnp  15744  sincosq1sgn  16053  sincosq3sgn  16055  sincosq4sgn  16056  logrpap0b  16106  bposlem6  16316  gausslemma2dlem3  16387  konigsberglem5  16938